拉德纳定理与舍费尔定理

在阅读文章“在计算复杂性时是否该宣布胜利？” 在“ Godel的遗失信和P = NP”博客中，他们提到了CSP的二分法。经过一些链接，谷歌搜索和维基百科之后，我遇到了拉德纳定理：

拉德纳定理： 如果，则 N P ∖ P中存在不是N P-完全的问题。${\bf P} \ne {\bf NP}$${\bf NP} \setminus {\bf P}$${\bf NP}$

并根据舍弗定理：

Schaefer的二分法定理：对于每一个约束语言Γ在{ 0 ，1 }，如果Γ是谢弗然后Ç 小号P（Γ ）是多项式时间可解的。否则，Ç 小号P（Γ ）是Ñ P -complete。$\ \Gamma$$\{0, 1\}$$\ \Gamma$${\bf CSP}(\Gamma)$${\bf CSP}(\Gamma)$${\bf NP}$

我读这句话的意思是，对于Ladner而言，存在的问题既不是也不是N P-完全的，但是对于Schaefer而言，问题仅仅是P和N P-完全的。${\bf P}$${\bf NP}$${\bf P}$${\bf NP}$

我想念什么？为什么这两个结果彼此不矛盾？

我从这里获取了上述定理陈述的精简版本。他在“最终评论”部分中说：“因此，如果问题出在但不是N P-完全，那么就不能将其表示为CSP”。${\bf NP} \setminus {\bf P}$${\bf NP}$

这是否意味着问题错过了N P中的某些实例？那怎么可能？${\bf SAT}$${\bf NP}$

正如Massimo Lauria所言，形式为CSP（$\Gamma$）的问题非常特殊。因此没有矛盾。

任何约束满足问题实例都可以表示为关系结构S和T的一对，并且必须决定是否存在从源S到目标T的关系结构同构。 $(S,T)$$S$$T$$S$$T$

CSP（）是一种特殊的约束满足问题。它由所有对关系结构组成，它们仅使用目标关系结构中来自Γ的关系构成：CSP（Γ）= { （S ，T ）∣ 所有T的关系   都来自  Γ }。Schaefer的定理说，当Γ只包含了关系{ 0 $\Gamma$$\Gamma$$\Gamma$$\{(S,T) \mid \text{all relations of } T \text{ are from } \Gamma\}$$\Gamma$，然后CSP（$\{0,1\}$$\Gamma$）要么是NP完整的，要么是P中的，但完全没有说明CSP实例的其他集合。

举一个极端的例子，我们可以从某些NP完整的CSP（）开始，然后用该语言“吹孔”。（拉德纳在他的定理的证明这样做与国家税务总局）。其结果是只含有一些情况下的一个子集，而不再是形式CSP（Γ '）对于任何Γ $\Gamma$$\Gamma'$$\Gamma'$。假定P≠NP，重复构造会产生无限多种降低硬度的语言。

您需要了解 问题具有通用S A T问题所没有的结构。我会给你一个简单的例子。令Γ = { { （0 ，0 ），（1 ，1 ）} ，{ （0 ，1 ），（1 ，0 ）} $\mathsf{CSP}$$\mathbf{SAT}$$\Gamma=\{\{(0,0),(1,1)\},\{(0,1),(1,0)\}\}$。这种语言使得您只能表达两个变量之间的相等和不相等。显然，任何这样的约束集都可以在多项式时间内求解。

我将为您提供两个参数，以阐明和子句之间的关系 。注意，以下所有假设均假定P ≠ N $\mathsf{CSP}$$\mathbf{P}\not=\mathbf{NP}$。

首先：约束具有固定数量的变量，而中间问题的编码可能需要大的子句。当可以使用辅助变量将如此大的约束表示为小约束的结合时，这不一定是一个问题。不幸的是，一般并非总是如此。$\Gamma$

假设只包含Ø [R五个变量的。显然，您可以通过重复输入来表达较少变量的O R。您不能表示较大的O R， 因为使用扩展变量的方式需要将正负文字分开。 Γ表示变量的关系，而不是文字的关系。确实，当您将3- S A T视为C S P时，您需要Γ包含四个分离的关系和一些取反的输入（从零到三）。$\Gamma$$\mathsf{OR}$$\mathsf{OR}$$\mathsf{OR}$$\Gamma$$\mathbf{SAT}$$\mathsf{CSP}$$\Gamma$

第二：每个关系都可以表示为带有（例如）三个文字的一批子句。每个约束必须是整批此类子句。在平等/不等式约束的示例可以不用二进制甲Ñ d（即关系（1 ，1 ）），而不执行二进制否定 ø - [R （即相对于 （0 ，0 ）上的相同的变量）。$\Gamma$$\mathsf{AND}$${(1,1)}$$\mathsf{OR}$${(0,0)}$

我希望这可以向您说明从C S P获得的实例具有非常特殊的结构，这由Γ的性质强制执行$\mathbf{SAT}$$\mathsf{CSP}$$\Gamma$. If the structure is too tight then you cannot express hard problems.

A corollary of Schaefer Theorem is that whenever $\Gamma$ enforces a structure loose enough to express $\mathbf{NP\backslash P}$ decision problems, then the same $\Gamma$ allows enough freedom to express general 3-$\mathsf{SAT}$ instances.