Solow模型：稳态v平衡增长路径

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好的，因此我在区分稳态概念和此模型中的均衡增长路径时遇到了一些实际问题：

Y = K^{β} (A L)^{1 - β}

$Y = K^\beta (AL)^{1-\beta}$

我被要求得出每个有效工人的资本稳态值：

k^{*} = {(\frac{s}{n + g + δ})}^{\frac{1}{1 - β}}

$k^*=\left(\frac{s}{n+g+ \delta }\right)^{\frac{1}{1-\beta }}$

以及资本与产出的稳态比率（K / Y）：

\frac{K^{S S}}{Y^{S S}} = \frac{s}{n + g + δ}

$\frac{K^{SS}}{Y^{SS}} = \frac{s}{n+g+\delta }$

我发现这两种方法都很好，但是我还被要求找到“资本的边际产品的稳态值dY / dK”。这是我所做的：

Y = K^{β} (A L)^{1 - β}

$Y = K^\beta (AL)^{1-\beta}$

M P K = \frac{d Y}{d K} = β K^{β - 1} (A L)^{1 - β}

$MPK = \frac{dY}{dK} = \beta K^{\beta -1}(AL)^{1-\beta }$

替换为稳态下的K（按上述K / Y比计算稳态时计算得出）：

K^{S S} = A L {(\frac{s}{n + g + δ})}^{\frac{1}{1 - β}}

$K^{SS} = AL\left(\frac{s}{n+g+\delta }\right)^{\frac{1}{1-\beta }}$

M P K^{S S} = β (A L)^{1 - β} {[A L {(\frac{s}{n + g + δ})}^{\frac{1}{1 - β}}]}^{β - 1}

$MPK^{SS} = \beta (AL)^{1-\beta }\left[AL\left(\frac{s}{n+g+\delta }\right)^{\frac{1}{1-\beta }}\right]^{\beta -1}$

M P K^{S S} = β {(\frac{s}{n + g + δ})}^{\frac{β - 1}{1 - β}}

$MPK^{SS} = \beta \left(\frac{s}{n+g+\delta }\right)^{\frac{\beta -1}{1-\beta }}$

首先，我需要知道此MPK稳态值的计算是否正确？

其次，对于一个经济已经“从下而上”收敛到均衡增长路径的经济体，我被要求勾勒出资本产出比和资本边际产品的时间路径。

我在确切地了解平衡增长路径是什么（而不是稳定状态）以及如何使用我的计算来确定这些图形的外观时遇到了问题。

对不起，我很感谢任何帮助！提前致谢。

— 詹姆斯·贝克
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这就是对准确性的尝试造成混乱和误解的时候。

过去，增长模型并未融合技术进步，导致了以人均幅度恒定为特征的长期均衡。从字面上看，“稳态”一词似乎适合描述这种情况。

随后，Romer和内生增长模型出现了，这也促使旧模型开始作为常规特征包括外生增长因子（人口除外）。而且，在长期均衡中，人均术语“突然”不是恒定的，而是以恒定的速度增长的。最初，文献将这种情况描述为“增长率的稳定状态”。

然后它会显示该行业认为像“这是不正确的使用单词‘因为人均幅度正在成长稳定’在这里。什么情况是，所有的幅度增长以平衡率（即以相同的速度，因此它们的比率保持并且，由于它们的成长，它们遵循着一条道路 ……” Eureka !：“平衡的增长道路”一词由此诞生。

……（至少）令学生感到沮丧的是，他们现在必须记住，例如，“马鞍式道路”确实是相图中的一条道路，而“平衡成长的道路”仅是一点！（因为为了实际绘制相图并获得良好的长期长期平衡，我们表示每位有效工人的数量级，并且这些数量级确实具有传统的稳态。但是我们继续称其为“平衡的增长路径”，因为人均幅度（这是我们感兴趣的个人主义方法）继续增长）。

因此，“平衡的增长路径” =“每效率效率单位的数量级的稳定状态”，我想您可以为相位图找出其余的部分。

— 阿莱科斯·帕帕多普洛斯
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在我以前的答案的评论在与用户@denesp谈话中，我要澄清如下：我们使用相关的基本索洛增长模型通常的图形设备（例如，见这里，图2）是不是一个相图，因为合理地，我们将包含零变化轨迹的“相图”称为“相图”，将它们的交叉点识别为动力系统的固定点，并检查其稳定性。这不是我们为Solow模型所做的。因此，就我而言，这是对术语的粗心使用。

但是，我们可以在空间中为Solow增长模型绘制一个“半阶段图” 。将符号理解为“劳动的每效率单位”，我们具有微分方程组（而） $(y,k)$ $y=f(k)$

\dot{k} = s y - (n + δ + g) k

$\dot k = sy - (n+\delta+g)k$

\dot{y} = f_{k}^{'} (k) \cdot \dot{k}

$\dot y = f'_k(k)\cdot \dot k$ 将零变化方程写为一个弱不等式，以显示动态趋势，

\dot{k} \geq 0 ⟹ y \geq \frac{n + δ + g}{s} k

$\dot k \geq 0 \implies y \geq \frac {n+\delta+g}{s} k$

\dot{y} \geq 0 ⟹ \dot{k} \geq 0

$\dot y \geq 0 \implies \dot k \geq 0$

因此，该系统给出了一个零变化轨迹，即一条直线。没有交叉点来标识固定点我们该怎么办？在图中还绘制生产函数，因为实际上空间是一维的，不是面积而是一条线。然后我们得到 $(y,k)$

表示动态趋势的垂直/水平箭头正确地来自上方的弱不等式（在零变化轨迹上方时，和趋于增长）。然后，由于和被约束在虚线上移动（这是生产函数），因此无论我们从哪里开始，它们都朝着固定点移动。由于收敛是单调的，因此这里的生产函数图基本上代表了通往长期均衡的道路。 $y$ $k$ $y$ $k$

— 阿莱科斯·帕帕多普洛斯
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