拟线性效用：帕累托最优意味着总效用最大化？

我读到，如果我们对所有消费者都有准线性效用，那么任何对等的最优分配都会使所有消费者的效用水平之和最大化。那是：

$\textbf{What we know:}$

$$1)\quad u^i(m^i,x^i)=m^i+\phi^i(x^i)\; \quad \forall i=1,...,I$$ $$2)\quad\phi^i(\;)\;\text{is continous and strictly increasing (but not necessarily differentiable)}$$ $$3)\quad \text{An allocation,}\,x\, \text{satisfies}\;\neg\,\exists\,\hat{x}\; s.t. \;\hat{m}^i+\phi^i(\hat{x}^i)\geq m^i+\phi(x^i)\;\forall i$$ $$\text{and} \quad \hat{m}^i+\phi^i(\hat{x}^i)> m^i+\phi(x^i)\,\text{for some}\,i$$

$\textbf{What to show:}$

$$x\;\text{solves}\;max\sum_{i=1}^Im^i+\phi^i(x^i)$$

任何人都可以提供证明吗？任何帮助将不胜感激！

$\textbf{Edit:}\,$我不知道这是否是正确的路径，但是通过严格增加属性，偏好可以满足局部不满足感，这意味着它们满足了第一个福利定理。现在，如果我能弄清是否所有的pareto最优分配都是具有拟线性效用的竞争均衡，那么我可能会做些事情！ $\phi(\,)$

编辑：边缘情况很烂；看评论。另请参阅MWG第10章C，D部分。

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假设求解$(\vec x^*, \vec m^*)$

$$\max \sum^I_{i=1} m_i + \phi_i(x_i)$$

但不是帕累托最优。

$$\begin{align} \implies \exists \ (x_i', m_i') \quad \text{s.t.} \quad & u_i(x_i', m_i') \geq u_i(x_i^*, m_i^*) \quad \forall \ i = 1,\cdots,I \\ & u_i(x_i', m_i') > u_i(x_i^*, m_i^*) \quad \text{for some} \ i \end{align}$$

$$\implies \sum^I_{i=1} m'_i + \phi_i(x'_i) > \sum^I_{i=1} m^*_i + \phi_i(x^*_i)$$

这是一个矛盾。如果我们有效用最大化问题的解决方案，那么它必须是帕累托最优的。

（请注意，这来自连续且不断增加的属性）$\phi(\cdot)$

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假设是可行的帕累托最优分配，但不能解决$(\vec x^*, \vec m^*)$

$$\max \sum^I_{i=1} m_i + \phi_i(x_i)$$

因为我们将视为数字，并且严格增加，所以我们知道是局部。帕累托分配应该是可行的。$m_i$$\phi_i(\cdot)$$u_i(\cdot)$

$$\exists \ (x_i', m_i') \quad \text{s.t.} \quad \sum^I_{i=1} m'_i + \phi_i(x'_i) > \sum^I_{i=1} m^*_i + \phi_i(x^*_i)\\ \implies \boxed{ \sum^I_{i=1} \phi_i(x'_i) > \sum^I_{i=1} \phi_i(x^*_i)}$$

如果这是正确的，因为这种替代分配只是给一个人更多的，而其他所有条件都相等，那么替代分配是不可行的。所以我们会有一个矛盾。$x$

如果这是真的，因为在替代分配中，其他人分配的较多，而另一个人分配的分配较少，那么原始分配将不是帕累托最优的。假设是。如果您采用原始分配并以新分配的方式转移，则您将需要进行商品货品的相应交易，以使失去任何人至少保持相同的效用水平。但是，仅凭数字商品进行交易就永远不会改变总效用。根据原始分配，如果您可以将换成$x$$x$$m$$x$$m$$x$并在不伤害任何人的情况下使某人变得更好，那么您就不会达到帕累托最优，并且如果您无法用换成来使某人变得更好，那么您就无法增加汇总效用，这意味着原始分配是解决最大化问题。$m$$x$

无论您如何在多个人之间重新排列，此逻辑都适用。$x$

$\square$

我认为问题所指的标准纯交换经济并不正确。请考虑以下反例：假设

$I = \{1,2\}$和和。$u_1(x_1, m_1) = \sqrt{x_1} + m_1$$u_2(x_2, m_2) = \sqrt{x_2} + m_2$

并让可行分配的集合为

$\{((x_1, m_1), (x_2, m_2))\in\mathbb{R}^2_+\times\mathbb{R}^2_+: x_1+x_2 = 2, m_1+m_2 = 2 \}$。

请注意，分配是帕累托有效的，但并未使效用之和最大化。原因是分配产生更高的总和。$a_1 = ((x_1, m_1), (x_2, m_2)) = ((2,2),(0,0))$$a_2 = ((1,1),(1,1))$

$u_1(2,2) + u_2(0,0) = \sqrt{2} + 2 < 2 + 2 = u_1(1,1) + u_2(1,1)$。

我相信您指的是以下结果：任何PE分配都会最大化，但是由于您对以下内容不甚了解，因此很难确切知道可行性。$\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$

让我更具体一点。对于每个，。分配是。可行分配的集合为。来自的效用是，其中严格增加。$i\in\{1,\ldots,I\}$$(x_{i},m_{i})\in\mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}$$a=(x_{i},m_{i})_{i=1}^{I}$$F=\{(x_{i},m_{i})_{i=1}^{I}|(x_{i},m_{i})\in\mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}\forall i\in\{1,\ldots,I\},\sum_{i=1}^{I}x_{i}\leq c_{x},\sum_{i=1}^{I}m_{i}\leq c_{m}\}$$i\in\{1,\ldots,I\}$$a\in F$$u_{i}(a)=m_{i}+\phi_{i}(x_{i})$$\phi_{i}$

PE分配的定义是标准的：如果使得所有和为，则为PE表示一些。$a\in F$$\nexists a'\in F$$u_{i}(a')\geq u_{i}(a)$$i$$u_{i}(a')>u_{i}(a)$$i$

现在，我声称如果是PE，则是，或者关于的显式 st。$a$$a$$\displaystyle\max_{a\in F}\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$$x_{i}$$\displaystyle\max_{(x_{i})_{i=1}^{I}\in\mathbb{R}_{+}^{I}}\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$$\sum_{i=1}^{I}x_{i}\leq c_{x}$

我不会在这里证明这一主张，但是关键思想很简单，如下。假设是PE，但不能解决最大化问题。然后我们可以找到另一个可行的，使得。诚然，在，相对于来代理更糟了，但我们可以用钱， S，让他们同样作为下，仍然留用了一些钱，因为我们增加了来自的效用之和。$a^{*}$$a'$$\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i}')>\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i}^{*})$$a'$$a^{*}$$m_{i}$$a^{*}$$x_{i}$

换句话说，来自的的效用之和为。现在任何非浪费性分配将具有相同的第一项。$a\in F$$\sum_{i=1}^{I}m_{i}+\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$$a\in F$

对此进行考虑的另一种方式是，决定饼图的大小，而货币决定重新分配。通过准线性，将减少1单位，将增加1单位，则不变。对于和并非如此。$x_{i}$$m_{i}$$m_{i}$$m_{j}$$m_{i}+m_{j}$$x_{i}$$x_{j}$

这也意味着解决最大化问题的中的任何为PE。$a\in F$