可替代性与努力的互补性

假设$ n $玩家正在联合制作以产生共同输出$ v（a_1，a_2，...，a_n）$，其个人行动为$ a_i $。行动中$ v（a_1，...，a_n）$的凸性或凹度是否说明了其行为的可替代性或互补性？

在这样的问题中，互补性和可替代性通常是根据交叉衍生物来定义的。

写$ v_i（\ cdot）$作为$ v $的衍生物相对于其$ i $ th参数。因此，$ v_i（a_1，\ ldots，a_n）$衡量，如果$ i $略微增加他的努力，产量会增加多少。

现在让我们考虑$ v_i $相对于$ a_j $：$ v_ {ij}（a_1，\ ldots，a_n）$的衍生物。如果$ v_ {ij}＆gt; 0 $那么当$ a_j $为高时，来自$ i $的额外单位努力产生更多输出（反之亦然）。我们说$ i $和$ j $的努力是补充，因为$ j $的额外努力使得$ i $的努力更有效（反之亦然）。

相反，如果$ v_ {ij}＆lt; 0 $那么来自$ j $的额外努力会让$ i $的努力更少 有效 ，这通常被视为可替代性的定义。