在指数女士与双曲线女士小插图上

我遇到过这个小寓言，旨在说明为什么指数折扣优于双曲线折扣¹：

[双曲线折扣曲线]的较大弯曲表示，如果双曲线折扣店与使用指数曲线的某人进行贸易，她很快就会省钱。例如，Exponential女士可以在每个春季以便宜的价格购买Hyperbolic女士的冬衣，因为到下一个冬天的距离会使H女士对它的估价比E女士低得多。然后，E女士可以在每个秋天将外套卖回H女士，因为冬天临近，H女士对它的估价高涨。

摘录所涉及的图看起来有点像下面显示的图，最显着的区别是我添加了图例以指示哪条曲线是哪条²以及所使用的实际折现函数的解析形式³。

但是在我看来，如上所述，该论点是虚假的。显然，谁的估值会更低，取决于时间。因此，E女士和H女士的角色完全相同的论点在曲线相交的点和垂直轴之间的任何时间点都适用。

实际上，对于双曲曲线和指数曲线的某些系数选择，对于所有时间点，指数曲线都比双曲线曲线更压抑。例如：

事实证明，上方的绿色指数曲线仅在一个值处与双曲曲线相交。 $t$，即 $t = 0$（即在垂直轴指示的时间）。对所有人$t < 0$，绿色指数曲线严格低于双曲线。

这意味着，如果E女士的指数折扣曲线是绿色的，那么H女士将能够通过应用摘录中所述的策略迅速使她沉迷，并且这与时间间隔之间的时间长度无关冬季大衣的买卖。

总而言之，我认为摘录中关于指数贴现优于双曲线贴现的观点并没有成立。

现在，我意识到摘录并不是特别严格，并且可能有一种更有说服力的方式来证明指数折扣比双曲线折扣的优越性。如果是这样，那是什么？我特别想了解以下内容：

使用指数折扣的人如何单方面使用双曲线折扣的人获得财务优势？

（单方面而言，我的意思是该策略仅适用于使用指数折扣而不是使用双曲线折扣的somoneone的人，反之亦然。）

^{1这段经文中我提到的是乔治·安斯利（George Ainslie）的《意志的破裂》（Break of will）（2001）（第30-31页）。不过我没有这本书。}

^{2根据我对作者“大鞠躬”的意思的解释，我添加了“双曲线”和“指数”标签。我不是英语母语人士，所以如果这种解释是落后的，请纠正我。}

^{3请注意，所有这些功能都具有$(-\infty, 0]$作为他们的领域。为了匹配原始曲线的外观，需要进行此选择。另外，我要强调的是，我为所有这些曲线使用的功能形式是我自己选择的，以便近似原始曲线的外观。摘录的文字未给出所描绘曲线的功能形式。}

我相信钱泵是这样的：

在 $T=0$ 从双曲线折扣店的亨利那里借了一百美元 $t$。利率应为零，因为它们在那个时期的贷款折现率为$1$。为简单起见，将其设为零息贷款，到期还款，并假设你们双方都同意它们不存在信用风险。现在向前迈进一个时期$T=\epsilon$。提出将贷款卖回亨利。现在他的折扣率是$\frac{1}{1-\epsilon} < 1$因此利率低于他对新贷款收取的利率，因此价格必须高于面值。叫价$100 + \psi_1$。做买卖，撕毁贷款，然后掏腰包$\psi_1$。再次以零息要求以一百美元的新贷款，现在的利率为$\frac{1}{1-\epsilon}$每期。向前迈进另一个时期$T = 2 \epsilon$。再次，$\frac{1}{1-2\epsilon} < \frac{1}{1-\epsilon}$ 因此您也可以以高于面值（$1 + \psi_2$）。做买卖，撕毁贷款，然后掏腰包$\psi_2$。冲洗，起泡沫并重复，直到他们没有一百美元可借给您。

更新：希望这是一个简单的示例。你在每个时期要做的是买T（T$\geq$2）发行双曲线折扣者亨利的债券。您还可以将上期购买的债券卖回给亨利。只要时间段短到足以使交易利润足以弥补您自己的折扣率，您就愿意这样做。

考虑具有上述优先权的2年期债券。2年的折扣率是$\frac{1}{3}$ 低于1年的贴现率 $\frac{1}{2}$。 指数折扣商Eddy愿意将现金借给Henry，因为这笔贷款的利润足以补偿他，即使他对1年期和2年期贷款的时间偏好率都高于Henry。