为什么价格矢量与矢量在预算超平面上连接两个束正交？

这是我的修订版本/理解，为什么价格向量与从预算超平面上的束到超平面上的另一个束的任何向量正交：（请参阅以下原始问题）

要以几何方式表明预算超平面是交换的相对条件。这是一种很好的说法，它代表了任何两种商品之间的价格“比率”。为了简单起见，请看。对于比率，我们有两种选择：或。那会是什么？价格向量的构建方式为p，因此，当您从预算线的任意点（在的情况下为负斜率绘制此向量时，该向量实质上就是斜率（例如，上升以上的运行）。所以很明显，如果负斜率的预算线应该代表价格比率，那么情况一定是这样 $L=2$ $\frac{p_1}{p_2}$ $\frac{p_2}{p_1}$ $=(p_1,p_2)$ $L=2$ $\frac{p_2}{p_1}$ $\frac{-p_1}{p_2}$ 。实际上，从Walrasian预算集定义开始，。 $w=x\cdot p$

当我们查看设置的典型Walrasian预算时，为什么价格矢量与预算超平面上的消费矢量（例如，坡度上的任意两个）正交？这可以追溯到MWG的第2章。我了解使用点积的分析解释。 $\mathbb{R^+_2}$

$p\cdot x=p\cdot x'=w$ 为。因此，。 $x,x'\in\{x\in\mathbb{R^+_2}:p\cdot x=w\}$
$p\cdot\Delta x=0$

但是我很难理解两件事：

（Q）为什么超平面上的价格和消费向量之间的这种正交性与预算线的斜率相关，该斜率决定了两种商品之间的相对汇率？在直觉和几何解释之间您如何理解？

感谢您的2美分！

microeconomics consumer-theory choice-theory

— 弗兰克·斯旺顿
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请注意，与预算线上的消费向量不正交，但是与与预算线上的满足的任何向量正交。MWG是从开始的绘图向量。 $p$ $v$ $x+v=x'$ $x,x'$ $x$

关于斜率：在预算行中，您可以看到任何的斜率是（即从绘制的线）。该线或向量可以用函数（请注意，如果，则）。斜率是。 $x$ $D_x (p.x)=p$ $x$ $x_2=(p_2/p_1)*x_1$ $x_1=p_1$ $x_2=p_2$ $p_2/p_1$

另一方面，预算线上的所有向量都满足。这里的斜率是。该斜率是汇率。两个斜率都暗示两个函数（向量和预算线）是正交的。或者，也许最好说预算线和向量之间的正交性意味着，也就是说，最后一项捕获了汇率。 $x_2=(-p_1/p_2)*x_1+w/p_2$ $(-p_1/p_2)$ $p$ $p$ $dx_2/dx_1=-p_1/p_2$

— 贝利萨里奥
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Alvaro，谢谢您的回答。我按照你写的东西。但是我试图充实正交性和相对交换条件（例如两种产品之间）的直觉。我试图很难想像如果我们说它们不是正交的，意味着点积不为零，将会导致什么样的荒谬。我想这可能会导致或不在预算超平面上的矛盾……当它不正交时会发生什么情况？

x^{0}

$x^0$

x^{'}

$x'$

— Frank Swanton

如果预算线和所述向量p不正交，则与从不同。然后（相对价格不是汇率）。结果将是预算行可以写为。因此，对于原始预算行中的任何，我们都有。不在预算行中。

x_{2} = - α * x_{1} + w / p_{2}

$x_2=-\alpha∗x_1+w/p_2$

α

$\alpha$

p_{1} / p_{2}

$p_1/p_2$

d x_{1} / d x_{2} = - α

$dx_1/dx_2=-\alpha$

α * p_{2} * x_{1} + p_{2} * x_{2} = w

$\alpha∗p_2*x_1+p_2*x_2=w$

x^{'} >> 0

$x'>>0$

α * p_{2} * x_{1}^{'} + p_{2} * x_{2}^{'} = p_{1} * x_{1}^{'} + p_{2} * x_{2}^{'} + (α * p_{2} - p_{1}) * x_{1}^{'} = w + (α * p_{2} - p_{1}) * x_{1}^{'} \neq w

$\alpha∗p_2*x'_1+p_2*x'_2=p_1*x'_1+p_2*x'_2+(\alpha∗p_2-p_1)*x'_1=w+(\alpha∗p_2-p_1)*x'_1\neq w$

x^{'}

$x'$

— Belisario

同样，我考虑交换的相对条件的方式是无差异曲线。这样给定的说一定效用水平，在该无差异曲线的每个点相切表示之间的边际替代率为。假设我们有一个拟凹函数效用函数那么预算超平面就是我想与一些无差异曲线相切的地方。那么，这是否代表着给定价格和财富的情况下特定的边际替代率呢？再次，很难理解为什么这与价格向量正交有关：(

x_{1}, x_{2}

$x_1,x_2$

L = 2

$L=2$

u (.)

$u(.)$

— Frank Swanton

实际上，我认为我对术语“相对交易条件”感到困惑，这只是价格的比率。因此，它必须是超过或相反。因此从这个意义上讲，当时，我得到图形和代数的斜率就是比率。

p_{1}

$p_1$

p_{2}

$p_2$

L = 2

$L=2$

— Frank Swanton

是的，（市场）汇率是人们在市场上交换产品的比率。因此，可以将一个单位（价格为）交换为个单位（想想是出售单位时获得的收入）。此比率等于消费者最大化时的边际替代率，但是MWG并未在谈论它。您的回答是正确的。请注意，您始终可以使用隐函数定理来获得和之间的斜率。事实证明，这是交换率以及正交斜率。

x_{2}

$x_2$

p_{2}

$p_2$

p_{2} / p_{1}

$p_2/p_1$

x_{1}

$x_1$

p_{2}

$p_2$

x_{2}

$x_2$

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

d x_{2} / d x_{1} = - p_{1} / p_{2}

$dx_2/dx_1=-p_1/p_2$

— Belisario