没有相同均值的二阶随机优势

令和为均值相同的两个分布。如果对于所有递增且凹的则称为二阶随机（SOSD）。 $F$ $G$ $F$ $G$

\begin{matrix} (1) & \int u (x) d F (x) \geq \int u (x) d G (x) \end{matrix}

$\int u(x)\mathrm dF(x)\ge \int u(x)\mathrm dG(x)\tag{1}$

u (\cdot)

$u(\cdot)$

上面的定义等效于

\begin{matrix} (2) & \int_{- \infty}^{x} F (t) d t \leq \int_{- \infty}^{x} G (t) d t, \forall x \in R . \end{matrix}

$\int_{-\infty}^x F(t)\mathrm dt\le \int_{-\infty}^xG(t)\mathrm dt,\qquad\forall x\in\mathbb R.\tag{2}$

有人告诉我，实际上不需要和具有相同的均值。假设和也不会具有相同的意思。那么，我们还能在与之间保持等价吗？ $F$ $G$ $F$ $G$ $(1)$ $(2)$

注意：我能够显示，但没有相同的平均状况，但相反。 $(2)\Rightarrow (1)$

microeconomics probability

— K先生
source

令递增且凹。然后读取SOSD 的定义条件 $u(x) = x$

\begin{matrix} (1) & \int x d F (x) \geq \int x d G (x) ⟹ E_{F} (X) \geq E_{G} (X) \end{matrix}

$\int x\mathrm dF(x)\ge \int x\mathrm dG(x) \implies E_F(X) \geq E_G(X) \tag{1}$

..这将与的情况相抵触，根据一般的“不同方式”假设，这是允许的。另一方面，我们看到SOSD本身的定义条件可能会违反“相同均值”条件。这告诉我们什么？ $E_F(X) < E_G(X)$

1）该是一个必要条件为到SOSD。 $E_F(X) \geq E_G(X)$ $F$ $G$

2）...因此“和具有相同的均值”要求错误地限制了SOSD概念的应用。 $F$ $G$

— 阿莱科斯·帕帕多普洛斯
source