生产函数中的常量返回$ \ frac {Y} {L} = \ left（\ frac {K} {L} \ right）^ {\ alpha} \ left（\ frac {R} {L} \ right）^ {\ beta} $（$ R $ =资源）

在他的 1977年的文章 （由此产生了大量关于Hartwick规则的文献，以便在不可再生自然资源枯竭的情况下维持长期不变消耗），Hartwick使用（第973页）这种总生产函数：

$$ x = k ^ {\ alpha} y ^ {\ beta} 1 ^ {\ gamma} $$

这里（见第972页）$ x $是人均产出，$ k $是人均可再生资本，$ y $是人均可用资源。 $ 1 $只是第一，劳动被假定为常数（因此术语$ 1 ^ {\ gamma} $似乎是减少的）。因此，在更熟悉的符号（输出$ Y $，资本$ K $，使用可耗尽资源$ R $，劳动$ L $），以及掩盖人口和劳动力之间的差异时，这是：

$$ \压裂{Y} {L} = \左（\压裂{K} {L} \右）^ {\阿尔法} \左（\压裂{R} {L} \右）^ {\测试} $ $

然后Hartwick假定（第972页）表格中的规模报酬（明确地在第973页）$ \ alpha + \ beta = 1 $。

题 ：在上述形式中，什么理由可能证明了不断回报的假设？假设不断回报是不是更合理 所有 因素增加，即在形式的生产函数中假设$ \ alpha + \ beta + \ gamma = 1 $：

$$ Y = K ^ {\阿尔法} R 1 {\的β} L ^ {\伽马} $$ 这确实意味着上述功能，因为：

$$ \ frac {Y} {L} = \ frac {K ^ {\ alpha} R ^ {\ beta} L ^ {\ gamma}} {L ^ {\ alpha} L ^ {\ beta} L ^ {\伽马}} = \左（\压裂{K} {L} \右）^ {\阿尔法} \左（\压裂{R} {L} \右）^ {\测试} $$

但是，如果$ \ gamma> 0 $，则与$ \ alpha + \ beta = 1 $不一致：而是$ \ alpha + \ beta＆lt; 1 $。

正在考虑的论文的目的是检查/显示导致“代际公平”的“投资规则”，其中恒定人口转化为不断消费。

正在审查的投资规则是（第973页的最后一行）“全部投资 回报 从可再生资本中的可耗尽资源“（并消耗其余资金）。

早些时候，eq。 $（1）$论文（资本积累法则）告诉我们 毛 返回到等于$ f_yy $的可耗尽资源：这意味着我们假设每单位可耗尽资源的回报 等于其边际产品 。

但这反过来又意味着定价和市场的存在。所以必须有资本市场。如果资本市场也以边际定价为特征，那么，如果我们假设生产函数的资本和可耗尽资源（$ \ alpha + \ beta＆lt; 1 $）的规模收益递减，那么

$$ f_kk + f_yy＆lt; X $$

并且输出的某些部分将被解释为下落不明。

因此，作者假设这两者的规模报酬不断变化，这样他也可以假设竞争市场和边际定价，并且人均产出在这些投入的回报中耗尽。

这当然引出了一个问题： 劳动力市场会发生什么？ 好吧，我们可以通过以下假设逃脱谋杀：没有休闲劳动选择，非劳动力提供劳动力，而且， 没有劳动力市场 ，它被归入其他生产要素，即它与它们一起提供，而不是单独支付：认为资本所有者也在不支付工资的情况下从事业务。

这当然意味着具有单一劳动和无关指数$ \ gamma $的公式是草率和有问题的，它应该不存在（它不会影响论文），并且它正确地导致了OP的问题。