具有期望项的Euler方程的对数线性化

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有一些在线资源可用于对数线性化（例如，here 或here）。但是，涉及期望的对数线性化有些棘手，因为日志不能简单地“通过”期望运算符。在这个例子中有人可以帮助代数吗？

我有Euler方程（等式1）

1 = E_{t} [{δ {(\frac{C_{t + 1}}{C_{t}})}^{- 1 / ψ}}^{θ} {\frac{1}{1 + R_{m, t + 1}}}^{1 - θ} 1 + R_{i, t + 1}]

$1 = E_t \left [ \left \{ \delta \left (\frac{C_{t+1}}{C_t} \right )^{-1/\psi} \right \}^\theta \left \{ \frac{1}{1 + R_{m,t+1}} \right \}^{1 - \theta} 1 + R_{i, t+1} \right ]$ ，其中

θ = (1 - γ) / (1 - 1 / ψ)

$\theta = ( 1 -\gamma)/(1 - 1/\psi)$ 。我试图得出无风险利率的表达和股权溢价的表达。我应该怎么做呢？

似乎从上面我应该通过替代的感兴趣的变量，像这样启动第二链路 $C_t = c e^{\tilde C_t}$ 。然后按照给出的步骤，看来我应该到达（方程式2）

\begin{aligned} 1 = E_{t} [{δ {(\frac{{\tilde{C}}_{t + 1} + 1}{{\tilde{C}}_{t} + 1})}^{- 1 / ψ}}^{θ} {\frac{1}{(1 + R_{m}) [\tilde{(1 + R_{m, t + 1})} + 1]}}^{1 - θ} \cdot \cdot [(1 + R_{i}) [\tilde{(1 + R_{i, t + 1})} + 1]]] . \end{aligned}

$\begin{align} 1 = E_t \left [ \left \{ \delta \left (\frac{\tilde C_{t+1} + 1}{\tilde C_t + 1} \right )^{-1/\psi} \right \}^\theta {} \left \{ \frac{1}{(1 + R_m)[\widetilde{(1 + R_{m,t+1})} + 1]} \right \}^{1 - \theta} \cdot \\ \cdot [(1 + R_i)[\widetilde{(1 + R_{i, t+1})} + 1]] \right ]. \end{align}$

但是我从这里去哪里呢？

编辑：

我直接从已有的笔记中复制了公式1。这可能是在右侧，该术语的情况下，，应在括号，。在对数线性化的最初尝试中，我已经采用这种方式进行处理。 $1 + R_{i,t+1}$ $(1 + R_{i,t+1})$
在等式2中，我遵循了可以在开头的第二个链接中找到的指令中的步骤。因此，没有时间下标的和是稳态下的这些值。 $R_i$ $R_m$
是市场投资组合的收益，是资产收益。 $R_m$ $R_i$ $i$

编辑2：

感谢您的有用评论。因此，从到目前为止的经验来看，我应该得到以下信息：

\begin{aligned} 1 & = E_{t} [δ^{θ} (1 - \frac{θ}{ψ} ({\tilde{C}}_{t + 1} - {\tilde{C}}_{t}) (1 + R_{m})^{θ - 1} (θ - 1) (1 + {\tilde{R}}_{m, t} \frac{R_{m}}{1 + R_{m}}) \\ \cdot (1 + R_{i}) ((1 + {\tilde{R}}_{i, t} \frac{R_{i}}{1 + R_{i}})] \end{aligned}

$\begin{align} 1 &= E_t \left [ \delta^\theta (1 - \frac \theta \psi (\tilde C_{t+1} - \tilde C_t ) (1 + R_m)^{\theta - 1} (\theta - 1) \left ( 1 + \tilde R_{m,t} \frac{R_m}{1 + R_m} \right ) \right .\\ & \left . \, \cdot (1 + R_i) \left ( (1 + \tilde R_{i,t} \frac{ R_i}{1 + R_i} \right ) \right ] \end{align}$

然后，这意味着发现无风险利率如下：

\begin{aligned} 1 & = E_{t} [δ^{θ} (1 - \frac{θ}{ψ} ({\tilde{C}}_{t + 1} - {\tilde{C}}_{t}) (1 + R_{m})^{θ - 1} (θ - 1) (1 + {\tilde{R}}_{m, t} \frac{R_{m}}{1 + R_{m}}) (1 + R_{f})] \\ 1 & = E_{t} [m_{t + 1} (1 + R_{f})] \\ \frac{1}{E_{t} [m_{t + 1}]} & = 1 + R_{f} . \end{aligned}

$\begin{align} 1 &= E_t \left [ \delta^\theta (1 - \frac \theta \psi (\tilde C_{t+1} - \tilde C_t ) (1 + R_m)^{\theta - 1} (\theta - 1) \left ( 1 + \tilde R_{m,t} \frac{R_m}{1 + R_m} \right ) (1 + R_f) \right ] \\ 1 &= E_t[ m_{t+1} (1 + R_f)] \\ \frac{1}{E_t[m_{t+1}]} &= 1 + R_f. \end{align}$

这个对吗？现在，要结束问题，我将如何找到股权溢价？

macroeconomics asset-pricing

— ethan1410
source

即时通讯正在运行，但是您可以访问Gali的书吗？我认为他做了很多事情，iirc

— FooBar 2014年

不会。那是他的货币政策书吗？“货币政策，通货膨胀和商业周期？”

— ethan1410 2014年

您所提供的最后一个等式（无风险利率之上的1等于sdf的期望）始终为真，因此这是一个好兆头。要找到股权溢价，请找到

的价格，对市场的债权价值，然后减去无风险收益的价格：1.

E_{t} [m_{t + 1} (1 + R_{m})]

$E_t[m_{t+1}(1+R_m)]$

— jayk

4

让我们暂时忽略期望值的存在。如果这是确定性的设置，则通过获取日志进行线性化将是简单明了的，并且没有OP提供的链接技巧。在第一个方程的两边取自然对数，我们得到：

\begin{matrix} (1) & 0 = θ \ln δ - \frac{θ}{ψ} \ln (\frac{C_{t + 1}}{C_{t}}) - (1 - θ) \ln (1 + R_{m, t + 1}) + \ln (1 + R_{i, t + 1}) \end{matrix}

$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}\ln \left (\frac{C_{t+1}}{C_t} \right )-(1-\theta) \ln(1 + R_{m,t+1}) + \ln (1 + R_{i, t+1}) \tag{1}$

组

\begin{matrix} (2) & {\hat{c}}_{t + 1} = \frac{C_{t + 1} - C_{t}}{C_{t}} \Rightarrow \frac{C_{t + 1}}{C_{t}} = 1 + {\hat{c}}_{t + 1} \end{matrix}

$\hat c_{t+1} = \frac{C_{t+1}-C_t}{C_t} \Rightarrow \frac{C_{t+1}}{C_t} = 1+\hat c_{t+1} \tag{2}$

另外，需要注意的是标准的近似写至少。通常情况下，增长率和财务率都是这样，因此我们获得 $\ln (1+a) \approx a$ $|a|<0.1$

\begin{matrix} (3) & 0 = θ \ln δ - \frac{θ}{ψ} {\hat{c}}_{t + 1} - (1 - θ) R_{m, t + 1} + R_{i, t + 1} \end{matrix}

$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}\hat c_{t+1} -(1-\theta) R_{m,t+1} + R_{i, t+1} \tag{3}$

这是一个清晰的动态关系，将存在的三个变量联系在一起。如果在该模型中，稳定状态的特征在于恒定的消费和收益不变，则在它我们将有，因此稳态关系将是 $\hat c_{t+1} =0$

\begin{matrix} (4) & R_{i} = - θ \ln δ + (1 - θ) R_{m} \end{matrix}

$R_{i} = - \theta \ln \delta + (1-\theta) R_{m} \tag{4}$

但是我们所做的所有这些都忽略了期望值。我们的表达是，而不仅仅是 $E_t\left[f\left(C_t, C_{t+1},R_{m,t+1},R_{i,t+1} \right)\right]$ $f\left(C_t, C_{t+1},R_{m,t+1},R_{i,t+1} \right)$ 。输入一阶泰勒展开式。我们需要一个扩展中心。简单地用表示四个变量（在存在带有 -index 的变量也没有关系）。我们选择围绕扩展函数。所以 $f()$ $\mathbf z_{t+1}$ $t$ $\mathbf z_{t+1}$ $E_t(\mathbf z_{t+1})$

\begin{matrix} (5) & f (z_{t + 1}) \approx f (E_{t} [z_{t + 1}]) + \nabla f (E_{t} [z_{t + 1}]) \cdot (z_{t + 1} - E_{t} [z_{t + 1}]) \end{matrix}

$f\left(\mathbf z_{t+1}\right) \approx f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right) + \nabla f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right)\cdot \big(\mathbf z_{t+1}-E_t[\mathbf z_{t+1}]\big) \tag{5}$

然后

\begin{matrix} (6) & E_{t} [f (z_{t + 1})] \approx f (E_{t} [z_{t + 1}]) \end{matrix}

$E_t\left[f\left(\mathbf z_{t+1}\right)\right] \approx f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right) \tag{6}$

显然，这只是一个近似值，即即使是由于詹森的不等式，也存在误差。但这是标准做法。然后，我们可以看到，我们在确定性版本上所做的所有先前工作都可以应用于随机版本，其中插入条件期望值来代替变量。等式写 $(3)$

\begin{matrix} (7) & 0 = θ \ln δ - \frac{θ}{ψ} E_{t} [{\hat{c}}_{t + 1}] - (1 - θ) E_{t} [R_{m, t + 1}] + E_{t} [R_{i, t + 1}] \end{matrix}

$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}E_t[\hat c_{t+1}] -(1-\theta) E_t[R_{m,t+1}] + E_t[R_{i, t+1}] \tag{7}$

但是稳态值在哪里？好吧，在随机上下文中的稳态值有点棘手-我们是否认为我们的变量（现在被视为随机变量）变为常量？还是有另一种方法可以在随机环境中定义稳态？

有不止一种方法。其中之一就是“完美的预见性稳态”，我们可以完美地预测出不必要的恒定值（这是“满足预期的均衡”的概念）。例如，在评论中提到的Jordi Gali的书中使用了此方法。“完美预期稳定状态”由

\begin{matrix} (8) & E_{t} (x_{t + 1}) = x_{t + 1} \end{matrix}

$E_t(x_{t+1}) = x_{t+1} \tag{8}$

在这个概念下，变为等式。现在是经济的“完全预期的随机稳态”方程。 $(7)$ $(3)$

如果我们想要一个更强的条件，说变量在稳态下变得恒定，那么也有理由认为它们的预测最终将是完美的。在这种情况下，随机经济的稳态与确定性经济的稳态相同，即等式。。 $(4)$

— 阿莱科斯·帕帕多普洛斯
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@jmbejara这是完全正确的。它是函数的截断的一阶泰勒逼近的期望值。你不同意吗？是否将其视为次优逼近又是另一回事，并且与您用来判断逼近的质量和充分性的标准有关。

— Alecos Papadopoulos 2014年

好。你有一定道理。但是，就像你说的那样，我不确定情况中最好的是什么。但是肯定有不同的解决方法。关于偏见肯定有话要说，但是您提出了一个很好的观点。我将立即撤消表决。

— jmbejara 2014年

3

正确的近似是。这是无偏的，而 $f(x) \approx E[f(x)] + E[f'(x)] (x - E[x])$ 不是。看到这一点，项目的，这里的“栏”表示期望算子。然后，近似 $f(x) \approx E[f(x)] + f'(E[x]) (x - E[x])$ $f(x) - \overline{f(x)}$ $x - \bar x$ 当正态分布时（根据斯坦因引理），这种近似是精确的。

\frac{Cov (f (x), x)}{Var(x)} \approx E [f^{'} (x)] .

$\frac{\text{Cov}(f(x), x)}{\text{Var(x)}} \approx E[f'(x)].$

x

$x$

编辑：

$f(x) - \overline{f(x)}$ $x - \bar x$ $f(x) - \overline{f(x)} = \beta (x - \bar x) + \epsilon$ $E[\epsilon] = E[\epsilon x] = 0$ $\beta = \frac{\text{Cov}(f(x), x)}{\text{Var(x)}}$ $\beta$

f (x) \approx E [f (x)] + E [f^{'} (x)] (x - \bar{x}) + ϵ,

$f(x) \approx E[f(x)] + E[f'(x)] (x - \bar x) + \epsilon,$

E [ϵ] = 0.

$E[\epsilon] = 0.$

E [f (E [x]) + f^{'} (E [X]) (x - E [x])] = f (E [x]) \neq E [f (x)] .

$E[f(E[x]) + f'(E[X]) (x - E[x])] = f(E[x]) \neq E[f(x)].$

— 姆贝贾拉
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f (x) \approx E [f (x)] + E [f^{'} (x)] (x - E [x])

$f(x) \approx E[f(x)] + E[f'(x)] (x - E[x])$

f (x)

$f(x)$

E [f (x)]

$E[f(x)]$

Ë [F （ X ）] \approx F （ X ） - \frac{冠状病毒 （ F （ X ） ， X ）}{Var （ X ）} \cdot [X - Ë （ X ）] ？

$E[f(x)] \approx f(x) - \frac {\text{Cov}(f(x),x)}{\text{Var}(x)}\cdot [x-E(x)]?$

3

您的问题似乎像具有递归（Epstein-Zin）首选项的资产定价方程式。当对资产价格感兴趣时，必须注意通常的“宏观经济”线性化。这样的近似是确定性等效的，这意味着线性化解的系数不取决于冲击的大小。此外，线性化解中的所有变量都将围绕确定性稳态波动。结果，风险溢价为零，这无济于事。

一种解决方案是使用更高阶的摄动方法（第二阶获得恒定的风险溢价，第三阶随时间变化的溢价）。如果您想以数字方式求解模型，则可以使用现有软件（例如Dynare）轻松实现（在这种情况下，也无需手动线性化）。如果取而代之的是首选分析（近似）解决方案，则通常的方法是线性化数量动态（例如，消费增长），然后直接从Euler方程获得资产价格，并使用对数正态假设计算期望值，如Bansal＆Yaron（2004）所示。

例如，如果小写变量是对数，则通常的欧拉方程可重写为

1个 = Ë_{Ť} [经验值 （ 米_{Ť + 1个} + {[R}_{Ť + 1个} ）]

$1 = E_t [\exp(m_{t+1} + r_{t+1})]$

$m_{t+1},r_{t+1}$

\begin{matrix} （1） & 0 = Ë_{Ť} [米_{Ť + 1个}] + Ë_{Ť} [{[R}_{Ť + 1个}] + \frac{1个}{2} {V 一种 {[R}_{Ť} [米_{Ť + 1个}] + V 一种 {[R}_{Ť} [{[R}_{Ť + 1个}] + 2 C Ø v_{Ť} [米_{Ť + 1个} ， {[R}_{Ť + 1个}]} \end{matrix}

$0 = E_t[m_{t+1}] + E_t[r_{t+1}] + \frac{1}{2} \left\{ Var_t[m_{t+1}] + Var_t[r_{t+1}] + 2 Cov_t[m_{t+1},r_{t+1}] \right\} \tag{1}$

无风险利率必须满足 $\exp(-r^f_t) = E_t[\exp(m_{t+1})]$ ，要么

{[R}_{Ť}^{F} = - Ë_{Ť} [米_{Ť + 1个}] - \frac{1个}{2} V 一种 {[R}_{Ť} [米_{Ť + 1个}]

$r^f_t = -E_t[m_{t+1}] - \frac{1}{2} Var_t[m_{t+1}]$

因此我们必须有

Ë_{Ť} [{[R}_{Ť + 1个}] - {[R}_{Ť}^{F} + \frac{1个}{2} V 一种 {[R}_{Ť} [{[R}_{Ť + 1个}] = C Ø v_{Ť} [米_{Ť + 1个} ， {[R}_{Ť + 1个}]

$E_t[r_{t+1}] - r^f_t + \frac{1}{2}Var_t[r_{t+1}] = Cov_t[m_{t+1},r_{t+1}]$

为了实际计算资产价格，

将log-SDF表示为某些状态变量和冲击的线性函数（例如，CRRA情况下的日志消耗增长）
根据对数股利/股价比率（Campbell-Shiller近似）线性化收益，将其代入（1）。
在状态变量中将对数D / P比表示为线性，然后使用不确定系数的方法获得满足（1）的解。

实际上，这要复杂一些（特别是在使用EZ优先级的情况下，当必须首先使用该方法来得出进入SDF的市场收益，然后第二次获得其他收益时），但是可以找到更多详细信息，例如在链接的Bansal和Yaron中纸。

— 伊万斯姆
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1

究竟。似乎该线程中的混乱来自于这样的事实，即在对资产定价的欧拉方程的一阶近似中，没有风险溢价。（当然，SDF和收益之间的协方差本质上是二阶的。）感谢您解决这一问题。

— 名义上刚性的