城市经济学示例中的微积分和无差异曲线

我正在阅读Jan Brueckner 的论文“ 城市均衡的结构 ”。

它使用单中心城市模型，其中所有消费者在城市中心赚取收入$y$。他们以距中心x距离x的价格p购买$q$住房，从而产生运输成本t x。$p$$x$$tx$

消费者具有实用功能：

$v(c,q)=v(y - tx - p(\phi)q(\phi),q(\phi))=u$

其中$\phi=x,y,t,u$

预算约束为：

$c = y - tx - pq$

相切条件意味着：

$\frac{v_1(y - tx - pq, q)}{v_2(y - tx - pq, q)} = p$

其中下标1表示第一个自变量等的偏微分。

然后，本文讨论了和q如何随x ，y ，t和u变化。$p$$q$$x, y, t$$u$

如果，我们保持在相同的无差异曲线上。我觉得相对简单的找到∂ $\phi=x,y,t$和∂$\frac{\partial{p}}{\partial{x}},\frac{\partial{p}}{\partial{y}}$。$\frac{\partial{p}}{\partial{t}}$

如果是收入补偿的需求曲线，那么斜率∂ $\eta$。$\frac{\partial{q}}{\partial{\phi}} = \eta\frac{\partial{p}}{\partial{\phi}}$

现在，让改变。预算约束转而满足新的无差异曲线，从而确定新的p和q。$u$$p$$q$

我能找到。完全区分实用函数wrt u：$\frac{\partial{p}}{\partial{u}}$

$\frac{d}{du}[v(y - tx - p(\phi)q(\phi),q(\phi))= u] = v_1(-\frac{\partial{p}}{\partial{u}}q-p\frac{\partial{q}}{\partial{u}})+v_2(\frac{\partial{q}}{\partial{u}})=1$

因为，由相切条件：$v_2=pv_1$

$v_1(-\frac{\partial{p}}{\partial{u}}q-p\frac{\partial{q}}{\partial{u}}+p\frac{\partial{q}}{\partial{u}})=v_1(-\frac{\partial{p}}{\partial{u}}q)=1$

所以。$\frac{\partial{p}}{\partial{u}} = \frac{-1}{qv_1}$

然后，论文引用：

$\frac{\partial{q}}{\partial{u}} = [\frac{\partial{p}}{\partial{u}}-\frac{\partial{MRS}}{\partial{c}}\frac{1}{v_1}]\eta$

我不知道如何得出这一点。我猜方括号中的第一项是替代效应，第二项是收入效应。

请帮我理解这最后一个表达式以及如何导出。$\frac{\partial{q}}{\partial{u}} = [\frac{\partial{p}}{\partial{u}}-\frac{\partial{MRS}}{\partial{c}}\frac{1}{v_1}]\eta$