给定马歇尔需求函数，是否有可能推导出无差异曲线？

在两个商品世界中，马歇尔需求函数会像D(p,m)p是一种商品的价格而m收入产生效用函数或无差异曲线函数那样吗？如果是这样，如何解决这个问题？

microeconomics utility consumer-theory

是的，在某些情况下。这是经典的可集成性问题：有关详细讨论，请参见Kim Border的一些出色笔记。

还需要其他几个技术条件，但最经济的条件是Slutsky矩阵必须始终对称且为负半定数。具体来说，如果我们将上Slutsky矩阵的第个元素定义为那么我们必须具有对于所有，并且还用于任何向量，我们必须对所有的必要性 $ij$ $(p,m)$

σ_{i j} (p, m) = \frac{\partial D_{i} (p, m)}{\partial p_{j}} + D_{j} (p, m) \frac{\partial D_{i} (p, m)}{\partial m}

$\sigma_{ij}(p,m)=\frac{\partial D_i(p,m)}{\partial p_j}+D_j(p,m)\frac{\partial D_i(p,m)}{\partial m}$

σ_{i j} (p, m) = σ_{j i} (p, m)

$\sigma_{ij}(p,m)=\sigma_{ji}(p,m)$

(p, m)

$(p,m)$

v

$v$

(p, m)

$(p,m)$

\sum_{i} \sum_{j} σ_{i j} (p, m) v_{i} v_{j} \leq 0

$\sum_i \sum_j \sigma_{ij}(p,m)v_iv_j \leq 0$ 其中的这些条件立即来自基本的消费者理论，该理论表明，如果马歇尔需求来自效用函数的约束最大化，则Slutsky矩阵是对称且为负半定的。但是，这些条件的充分性（结合其他一些技术假设）对于我们支持效用函数来说是一件更为复杂的事情，要获得详细信息，我建议使用Border的注释或其他高级微型资源。

如果在假定Slutsky条件成立的情况下，您想要一种粗糙的实用方法（忽略技术上的细微差别）在典型的两种情况下回退无差异曲线，则最简单的方法可能是利用您对需求的了解来确定补偿性变化调整价格变化所需的支出。具体来说，对于使用等式，给定Marshallian需求函数知识，则是支出函数中的微分方程。从一些初始值开始，这些初始值会产生一些未知的实用程序 $i=1,2$

\frac{\partial e (p, u)}{\partial p_{i}} = h_{i} (p, u) = D_{i} (p, e (p, u))

$\frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i} = h_i(p,u) = D_i(p,e(p,u))$

D

$D$

e

$e$

(\bar{p}, \bar{m})

$(\bar{p},\bar{m})$

\bar{u}

$\bar{u}$ ，我们知道。然后，改变，我们可以对积分上面的微分方程，以获得任何。然后我们可以得到希克西需求向量表示任何。

e (\bar{p}, \bar{u}) = \bar{m}

$e(\bar{p},\bar{u})=\bar{m}$

p_{1}

$p_1$

i = 1

$i=1$

e (p_{1}, {\bar{p}}_{2}, \bar{u})

$e(p_1,\bar{p}_2,\bar{u})$

p_{1}

$p_1$

h (p_{1}, {\bar{p}}_{2}, \bar{u}) = D (p_{1}, {\bar{p}}_{2}, e (p_{1}, {\bar{p}}_{2}, \bar{u}))

$h(p_1,\bar{p}_2,\bar{u})=D(p_1,\bar{p}_2,e(p_1,\bar{p}_2,\bar{u}))$

p_{1}

$p_1$

由于这些希克斯式的需求都对应于相同的效用，因此它们位于相同的无差异曲线上。通过改变，我们将能够在无差异曲线上找到许多不同的点。实际上，如果需求表现得足够好，那么我们可以通过在任一方向上充分改变整个无差异曲线。（顺便说一句，“跟踪无差异曲线”是我们在任何情况下都可以做的：由于效用的基数与马歇尔需求无关，因此我们只能检索无差异曲线及其顺序等序数属性。） $\bar{u}$ $p_1$ $p_1$

— 名义上严格
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