支出函数与许多其他函数之间的关系！

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我不理解希克斯式需求，瓦尔拉式需求（马歇尔式），支出函数和间接效用函数（包括价值函数V（b））之间的关系。我发现这个主题非常困难，并且由于我现有书籍中所使用的形式性而无法理解它们之间的关系！

我知道如何导出间接效用，但是，我需要舒适地展示如何使用它来导出支出函数以及其余函数，以及它们在对偶方面的不同！

microeconomics consumer-theory utility

— 阿里
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紧接着Amstell的答案中出色的MWG图，基本的观察需要是保持固定，和彼此相反。告诉我们获得一定数量的效用所需花费的金额，而告诉我们从一定支出可以得到的最大效用数量。每当我们想要从效用转换为财富时，我们都使用；每当我们想要从财富转换为效用时，我们都使用。 $p$ $e$ $v$ $e$ $u$ $v$ $w$ $e$ $v$

所有关键身份都可以从此观察中得出。例如，假设我们要导出的标识。我们已经知道支出函数的对应身份。为了将其转化为的恒等式，我们用代替，获得，并就区分。链式规则表示 $\partial v(p,w)/\partial p_i$ $\partial e(p,u)/\partial p_i=h_i(p,u)$ $v$ $w=e(p,u)$ $v(p,e(p,u))=u$ $p_i$

\frac{\partial v (p, e (p, u))}{\partial p_{i}} + \frac{\partial v (p, e (p, u))}{\partial w} \cdot \frac{\partial e (p, u)}{\partial p_{i}} = 0 ⟺ \frac{\partial v (p, w)}{\partial p_{i}} = - \frac{\partial v (p, w)}{\partial w} \cdot x_{i} (p, w)

$\frac{\partial v(p,e(p,u))}{\partial p_i} + \frac{\partial v(p,e(p,u))}{\partial w}\cdot\frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i} =0\\ \Longleftrightarrow \frac{\partial v(p,w)}{\partial p_i} = -\frac{\partial v(p,w)}{\partial w}\cdot x_i(p,w)$ 如果我们用两边的除，它将成为Roy的身份。

- \partial v / \partial w

$-\partial v/\partial w$

或者，假设我们想推导Slutsky方程，该方程给出了马歇尔需求和希克斯需求的导数之间的关系（将马歇尔需求变化分解为替代和收入效应）。与上述类似，我们可以将入马歇尔需求以获得。然后，在两侧对求微分并应用链式规则得出 $w=e(p,u)$ $x(p,w)$ $x(p,e(p,u))=h(p,u)$ $p_i$

\frac{\partial x (p, e (p, u))}{\partial p_{i}} + \frac{\partial x (p, e (p, u))}{\partial w} \cdot \frac{\partial e (p, u)}{\partial p_{i}} = \frac{\partial h (p, u)}{\partial p_{i}} ⟺ \frac{\partial x (p, w)}{\partial p_{i}} = \frac{\partial h (p, u)}{\partial p_{i}} - \frac{\partial x (p, w)}{\partial w} \cdot x_{i} (p, w)

$\frac{\partial x(p,e(p,u))}{\partial p_i} + \frac{\partial x(p,e(p,u))}{\partial w}\cdot \frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i} = \frac{\partial h(p,u)}{\partial p_i}\\ \Longleftrightarrow \frac{\partial x(p,w)}{\partial p_i}=\frac{\partial h(p,u)}{\partial p_i} - \frac{\partial x(p,w)}{\partial w}\cdot x_i(p,w)$ 通常，我认为启发式的“ 根据需要使用和在和之间进行切换”可以使您在这里获得几乎所有东西。（如果您曾经处理过Frisch需求系统，那么类似的启发式方法也很有用，在该系统中，边际效用与和在Marshallian和Hicksian需求系统中起着相同的作用。）

w

$w$

u

$u$

v

$v$

e

$e$

λ

$\lambda$

w

$w$

u

$u$

当然，上面还使用了另一个关键事实，即，对于变为。最好将其视为古老的信封定理的直接结果。 $\partial e(p,u)/\partial p_i = h_i(p,u)$ $w=e(p,u)$ $\partial e(p,u)/\partial p_i = x_i(p,w)$

（也可以从包络定理的更高级版本中得出，在该版本中，约束和目标都取决于参数。由于效用最大化问题中的变化会改变预算约束包络定理说，它的效果取决于目标的拉格朗日乘子，即财富的边际效用，而不是客观定理，这很好地说明了为什么的表达式比的表达式要复杂得多，需要额外的一个因素。） $\partial v/\partial p_i$ $p_i$ $\partial v/\partial w$ $\partial v/\partial p_i$ $\partial e/\partial p_i$

— 名义上严格
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不确定这有多大帮助，但是在推导这些功能时，我始终牢记Mas-Colell第75页中的图表。我不确定您使用的是哪本书，但不确定是Mas-Colell等人的《微观经济学》。是去研究生的资源。但是我更喜欢瓦里安的微观经济学分析。阅读起来容易得多，但仍具有研究生水平工作所需的重要内容。从我的经验中，得出尽可能多的Walrasian要求，而只是在整个过程中进行工作，这使我很容易理解。如果您正在寻找示例，我可以应用一些公式来向您展示其工作原理，但是您似乎理解这一点。如果您还需要其他资源，那么我也有许多练习问题页面。希望这可以帮助：）

微观经济学：马斯·科尔

更新：这是我一些问题集中的一些实践问题。小心最后一个。请享用

如果可能，请为以下每个计算Hicksian，Walrasian，Expenditure和Indirect：

$e(p,u) = (p_{1} + p_{2})u$
$e(p,u) = p_{1} +p_{2} + up_{1}$
$h(p,u) = ( \frac{up_{2}}{p_{1}} , \frac{up_{1}}{p_{2}})$
$x(p,w) = ( \frac{w}{p_{1}} , \frac{w}{p_{2}} )$

编辑; 更新以解释＃4

$x(p,w) = ( \frac{w}{p_{1}} , \frac{w}{p_{2}} )$

乍一看，您会发现每个需求所有财富都用光了，鉴于收入限制，这是不可能的 $(x_{1}, x_{2})$

$p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2} = w$ 。

瓦尔拉斯法则的特征之一就是瓦尔拉斯定律成立。

瓦尔拉斯定律： $px = w$

证明瓦尔拉斯法则不成立的一种简单方法是简单插入对收入约束的要求。

$p_{1} ( \frac{w}{p_{1}}) + p_{2} ( \frac{w}{p_{2}}) = w$

$2w \neq w$ ; 因此，瓦尔拉斯定律不成立，这也不是瓦尔拉斯的要求。

— 阿姆斯特尔
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