最佳战斗钱包和拳击策略

以下是此方案中所有参与者可用的所有公共信息。

一般设置

在乌龟和野兔之间的臭名昭着的比赛之后，咸兔子在垃圾桶里跟垃圾说话。事情发生了变化，两人决定用$N$轮拳击比赛解决他们在戒指中的分歧。拥有场地的房屋经理想知道如何设置三件事：场地门票价格$p_t$，两个战士的合并保证工资的大小$w$，以及去战斗钱包的门票销售比例，表示为$p_f$。其他动物怀疑战斗机的报酬可能会影响战斗的强度，并且想知道战斗是否有趣。

一拼票为每个消费者支付的效用是

$$u_j(\mathbb{E}\left(\sum_{i=1}^{N} e_{ti} + e_{hi}\right), v, p_t)$$

也就是说，由龟和整个野兔施加预计总工作量回合，数v ≤ Ĵ其他动物谁在排队买了票，和机票价格的p 牛逼什么影响效用。如果买票的效用为0或更高，动物将排队买票。我们将说第一个和第二个参数中的u j严格增加，第三个参数严格减少，并且所有动物都是风险规避（所以凹实用）。房屋经理设定了一个场地价格，并且在战斗开始和门票销售接近之前不会一直改变（这是一种文化事物）。$N$$v \leq J$$p_t$$0$$u_j$

战斗

前售票开放，和房子的经理取得了他的决定后，两个战士必须就如何将总拼钱包分裂基于谁胜谁败，其中X是门票的总数最终被出售。获胜者获得战斗钱包F的一小部分。合并的房屋工资w在两个战士之间平均分配。每个战斗机在战斗中使用的努力/能量存量分别表示为乌龟和野兔的E t和E h，其中E t < E $p_f p_t x$$x$$F$$w$$E_t$$E_h$$E_t < E_h$。能量的战斗机总消耗量是：$f \in \{t, h\}$

$$\sum^N_{i=1} e_{fi} + d(e_{-fi} - e_{fi}) \leq E_f$$

我们将表示为一种损伤函数，其中在给定的一轮中比对手消耗更少的能量意味着你失去额外的能量。如果参数小于或等于0并且d （⋅ ）严格增加，则限制d （⋅ ）= 0，而二阶导数则为负。对于任何一轮，受到伤害处罚的战士有可能在当前回合被击倒，我表示为。一旦被击倒，起床的机会就是$d(\cdot)$$d(\cdot) = 0$$0$$d(\cdot)$$i$ķ=ë˚F-Σ我Ë˚F$k_i = \min\{d(\frac{e_{-fi} - e_{fi}}{E_f - \sum^i e_{fi}}), 1\}$$\mathbb{K} = \frac{E_f - \sum^i e_{fi}}{E_f}$。（注意这个问题的设置方式，每轮只有一个战斗机可以被击倒，只有一次。）

因此被击倒的几率是损失所损失的额外能量除以剩余未分配能量的总和。恢复的可能性只是剩余的未分配能量相对于初始能量储备的比例。一旦战斗结束，所有剩余轮次的能量消耗为。如果两名战士仍然站在最后一轮结束时，他们每轮得到1分，他们花费更多的能量，他们得到的每次击倒得1分。大多数积分获胜。更多击倒打破了联系。如果这种联系，那么法官会把胜利归于野兔，因为野兔被认为更具运动性。$0$

为了一致的设置，我们会说战斗机在每轮开始时设定每轮的能量消耗。

获胜战斗机的实用性可表示为：

$$\overline{u}_f(\frac{w}{2} + F p_f p_t x, \quad v, \quad \frac{\sum_i^N e_{fi}}{E_f})$$

对于失败者：

$$\underline{u}_f(\frac{w}{2} + (1-F) p_f p_t x, \quad v, \quad \frac{\sum_i^N e_{fi}}{E_f})$$

也就是说，总薪水，出现观看战斗的动物数量以及通过战斗使用的能量比例都会影响效用。对于获胜者，实用程序在第一个和第二个参数中严格增加，并在第三个参数中严格减少。对于输家，实用程序在第二个参数中严格减少。无论他们得到什么样的结果（凹面效用），两个战士都是规避风险的。

我们放置了两个最后条件。如果争夺其中一名参赛者的预期效用低于某些固定的，他们将退出战斗并采取 [插入在你的额头上制作L的照片]。另一个条件是两名战士有太多的自豪感接受贿赂。（至少彼此相关。）$S < 0$$\mathscr{L}$

为了澄清，我们可以将决策顺序视为：

1. 房屋经理选择$w, p_t, p_f$
2. 战士设置$F$
3. 在动物选择行排队买票$J$
4. 战士发挥跨轮$e_h, e_t$

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开始向后归纳 （如果你想问这个问题，请跳过这个）

有一点需要注意的是，如果战斗机设置，那么投掷战斗就会产生不正当的激励，我们认为这会在战斗期间造成较少的预期努力，尽管失去了实用性。知道这一点，消费者会购买更少的门票，这会减少战斗钱包，但也会降低失败的实用性。因此，在这个问题的当前形式中，对努力的影响的变化是模糊的。$F < \frac{1}{2}$$F$

假设。假设战斗已经开始，赢家和输家的工资以及场地上的动物数量都是固定的。效用的唯一变化发生在努力消耗上。$F > \frac{1}{2}$

对于，即使在这里也很难想到纯粹的纳什均衡。如果乌龟耗尽精力并且野兔匹配（因此获胜），乌龟将希望通过降低努力而偏离。如果乌龟没有付出任何努力，野兔就会想要匹配，但这会导致乌龟想要付出努力，这将使野兔有机会增加努力。等等。$N = 1$

纯粹的纳什均衡存在的唯一方法是，如果在努力等级，乌龟会发现施加更多努力的边际成本并且获得胜利的回报大于获得获胜回报的边际收益。则为Nash（然后没有动力降低努力，因为乌龟不能）。另一方面，也许野兔会处于这个位置而乌龟不在，所以将是一些（定义不明确的）Nash。e t = 0 ，e h = 0 e t = 0 + ε ，e h = $0$$e_t = 0, e_h = 0$$e_t = 0 + \epsilon, e_h = 0$

随机策略怎么样？考虑一个离散的情况：

$$\begin{array} {|r|r|r|r|} & e_h = 0 \;& e_h = 1 \;& e_h = 2 \;\\ \hline e_t = 0 & \underline{u}(e = 0), \overline{u}(e = 0)& \underline{u}(e = 0), \overline{u}(e = 1) & \underline{u}(e = 0), \overline{u}(e = 2)\\ \hline e_t = 1 & \overline{u}(e = 1), \underline{u}(e = 0) & \underline{u}(e = 1), \overline{u}(e = 1) & \underline{u}(e = 1), \overline{u}(e = 2)\\ \hline \end{array}$$

$e_h = 2$严格地由，所以我们只看类似地，其中为乌龟。Ë ħ = 0 ，1 Ë 吨 = 0 ，$e_h = 1$$e_h = 0, 1$$e_t = 0, 1$

$u_t(\sigma_h, e_t = 0) \geq u_t(\sigma_h, e_t = 1)$ if

$p\underline{u}(e = 0) + (1-p)\underline{u}(e = 0) \geq p\overline{u}(e = 1) + (1-p)\underline{u}(e = 1)$

$\implies \frac{\underline{u}(e = 0) - \underline{u}(e = 1)}{\overline{u}(e = 1) - \underline{u}(e = 1)} \geq p$

其中是野兔选择的概率。同样地，为乌龟选择努力的概率，我们的条件是e h = 0 q e t = $p$$e_h = 0$$q$$e_t = 0$

$q \geq \frac{\overline{u}(e = 1) - \underline{u}(e = 0)}{\overline{u}(e = 0) - \underline{u}(e = 0)}$

有了这些条件，只要，我们就可以得到随机纳什的条件。对于连续游戏来说，事情有点棘手。根据战斗机实用程序中第一个和第二个参数的固定值也是如此，随机策略的存在可能会发生变化。从这里开始，我们必须回过头来看看之前每个决定导致战斗的变化。然后我们可以看看两场比赛的战斗，然后被击倒的机会将发挥作用。$p, q \in [0, 1]$

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指定的功能表格

让我们说吧

• $u_j = \alpha_j \ln(\mathbb{E}\left(\sum_{i=1}^{N} e_{ti} + e_{hi}\right) + \beta_j \ln(v) + \gamma_j \ln(C - p_t)$（所以实用程序也是附加的，但是注意和可能是内生的）$v$$\mathbb{E}(\cdot)$$\alpha, \beta, \gamma, C > 0$
• $d = (e_{-fi} - e_{fi})^{\frac{1}{2}}$在域上具有相同的约束
• $\overline{u} = \lambda \ln\left(\frac{w}{2} + F p_f p_t x \right) + \delta \ln(v) + \theta \ln\left(D - \frac{\sum_i^N e_{fi}}{E_f} \right)$
• $\underline{u} = \lambda \ln\left(\frac{w}{2} + (1-F) p_f p_t x \right) + \delta \ln(E - v) + \theta \ln\left(D - \frac{\sum_i^N e_{fi}}{E_f} \right)$

用$\lambda, \delta, \theta > 0; \quad D > 1; \quad E > J$

• $N = 3$

这是一个很大的问题，让我们说消费者是相同的。所以等等。一旦一只动物排成一列，所有其他动物也会排队（至少，我认为这是理所当然的，因为对战士来说是激励）。$\alpha_j = \alpha$

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问题

• 一旦房子设定了最优价格并且我们经历了整个游戏，乌龟赢得战斗的概率是多少？

您可以一般表达这些值或插入您自己的固定常数数字，只要插入的值不会给出琐碎的结果，例如“所有价格等于零且战斗被取消”或“乌龟总是输掉” ”。基本上，什么是有趣的均衡？

我还会提出部分解决游戏问题的答案。因此，例如，您可以假设观众的数量是固定的，以及钱包的大小，但随后显示最佳将与最佳格斗策略一起设置，从中每个玩家获胜的机会可以是计算。$F$

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_{增编/编辑}

_{如果你想知道为什么我发布了这个问题，那么制作“有趣”的问题就是我做白日梦的方式之一。这个问题大多只是一个有趣的练习，但如果发布一个有趣的答案，我可能也愿意奖励赏金。因为我喜欢奖励乐趣，即使经济学已经非常有趣。：^）}

_{另外，我想在某个地方放一个梅威瑟的笑话，但是唉。如果您愿意，请随意将其中的一个纳入关于该问题的建设性评论中。}