Burdett Mortensen（1998）中值函数的微分

8

我目前正在研究Burdett和Mortensen在求职中的经典论文。max运算符的存在使查找保留工资的表达式应该是一件容易的事，这使它变得稍微复杂了一些。对于支付工资的工作的价值，我们面对着下面的Bellman方程。Bellman方程是标准的。的高薪的工作价值由工资加上搜索，并找到一个工作机会走来的概率贴现一个更好的工作期望增益加上由于成为失业者当工作在速度破坏损失。失业值 $w$ $w$ $w$ $\lambda_1$ $\delta$ $V_0$ 由失业救济金加上被录用的可能性折现后的预期就业收益。请注意，提出报价的可能性取决于某人已被雇用还是失业。要约的分配由由于随增加而无关，我们知道预留工资存在，如果 $b$ $\lambda_0$ $F$

r V_{1} (w) = w + λ_{1} [\int max {V_{1} (w), V_{1} (\tilde{x})} - V_{1} (w)] d F (\tilde{x}) + δ [V_{0} - V_{1} (w)]

$\begin{equation} rV_1(w)=w+\lambda_1\bigg[\int \max\{V_1(w),V_1(\tilde{x})\}-V_1(w)\bigg]\;dF(\tilde{x})+\delta [V_0-V_1(w)] \end{equation}$

r V_{0} = b + λ_{0} [\int max {V_{0}, V_{1} (\tilde{x})} d F (\tilde{x}) - V_{0}]

$\begin{equation}rV_0=b+\lambda_0 \bigg[\int \max\{V_0,V_1(\tilde{x})\}\;dF(\tilde{x})-V_0\bigg]\end{equation}$

V_{1} (w)

$V_1(w)$

w

$w$

V_{0}

$V_0$

w > R ⟹ V_{1} (w) > V_{0}

$w>R\implies V_1(w)>V_0$ ，

w < R ⟹ V_{1} (w) < V_{0}

$w<R\implies V_1(w)<V_0$ 且

V_{1} (R) = V_{0}

$V_1(R)=V_0$ 。标准参数（按部分积分）显示

R - b = (λ_{0} - λ_{1}) \int_{R}^{\infty} V_{1}^{'} (\tilde{x}) [1 - F (\tilde{x})] d \tilde{x}

$\begin{equation} R-b=(\lambda_0-\lambda_1)\int_R^\infty V_1'(\tilde{x})[1-F(\tilde{x})]\;d\tilde{x} \end{equation}$ 从这里，我想取第一个方程的导数并求解

V_{1}^{'} (w)

$V_1'(w)$ 。但是，如果我使用Leibniz积分规则，则需要被积分数是可区分的。在相等的情况下，两个连续函数的最大值通常是不可微的，所以我遇到了问题。如果我假设我对所有

\tilde{x} \geq w

$\tilde{x}\geq w$ 进行了积分，则

V_{1} (\tilde{x}) \geq V_{1} (w)

$V_1(\tilde{x})\geq V_1(w)$ （工资提议将诱使工人换工作），其结果遵循莱布尼兹规则。但是，分配中的工资将不被接受，并且该派生工具将不成立。导数是

V^{'} (\tilde{x}) = \frac{1}{r + δ + λ_{1} (1 - F (\tilde{x}))}

$\begin{equation} V'(\tilde{x})=\frac{1}{r+\delta+\lambda_1(1-F(\tilde{x}))} \end{equation}$ 我想我缺少了一些东西，但我不确定。如果有人可以给我任何建议，我将不胜感激。

labor-economics search-and-matching

— 标记
source

2

当您使用运算符的积分时，我认为您必须将积分拆分为两个单独的积分，并在其上提供不同的支持。 $\max_{\{\cdot\}}$

即使您的价值函数很复杂并且没有可微性，您也只需要连续性就可以解决优化问题。

— Kitsune骑兵
source

0

这是我的尝试，其中我假定绝对上限在该支持体，，为简单起见。 $F$ $F(\overline{w})=1$

将第一个方程式改写为，由此

r V_{1} (w) = w + λ_{1} \int_{w}^{\bar{w}} V_{1} (\tilde{x}) d F (\tilde{x}) + \underset{I}{\underset{⏟}{λ_{1} \int_{0}^{w} V_{1} (w) d F (\tilde{x})}} - λ_{1} \int_{0}^{\bar{w}} V_{1} (w) d F (\tilde{x}) + δ [V_{0} - V_{1} (w)],

$\begin{equation} rV_1(w)= w+\lambda_1\int_w^{\overline{w}}V_1(\tilde{x})dF(\tilde{x}) +\underbrace{\lambda_1\int_0^{w}V_1(w)dF(\tilde{x})}_{I} -\lambda_1\int_0^{\overline{w}}V_1(w)dF(\tilde{x}) +\delta[V_0-V_1(w)] \ , \end{equation}$

- λ_{1} \int_{0}^{\bar{w}} V_{1} (w) d F (\tilde{x}) = - λ_{1} \int_{w}^{\bar{w}} V_{1} (w) d F (\tilde{x}) - \underset{I I}{\underset{⏟}{λ_{1} \int_{0}^{w} V_{1} (w) d F (\tilde{x})}} .

$\begin{equation} -\lambda_1\int_0^{\overline{w}}V_1(w)dF(\tilde{x})= -\lambda_1\int_w^{\overline{w}}V_1(w)dF(\tilde{x}) -\underbrace{\lambda_1\int_0^{w}V_1(w)dF(\tilde{x})}_{II} \ . \end{equation}$

术语和抵消，从而使布置给出如果应用已知的Leibniz规则，得到，其中最后一个等式从得出。求解可提供所需的解决方案。 $I$ $II$

(δ + r) V_{1} (w) = w + λ_{1} \int_{w}^{\bar{w}} [V_{1} (\tilde{x}) - V_{1} (w)] d F (\tilde{x}) + δ V_{0} .

$\begin{equation} (\delta +r)V_1(w)= w+\lambda_1\int_w^{\overline{w}}[V_1(\tilde{x})-V_1(w)]dF(\tilde{x}) +\delta V_0 \ . \end{equation}$

(δ + r) V_{1}^{'} (w) = 1 - λ_{1} \int_{w}^{\bar{w}} V_{1}^{'} (w) d F (\tilde{x}) = 1 - λ_{1} V_{1}^{'} (w) [1 - F (w)],

$\begin{equation} (\delta +r)V_1'(w)= 1-\lambda_1\int_w^{\overline{w}}V_1'(w)dF(\tilde{x})=1-\lambda_1V_1'(w)[1-F(w)] \ , \end{equation}$

F (\bar{w}) = 1

$F(\overline{w})=1$

V_{1}^{'} (w)

$V_1'(w)$

— daniel_EDI
source