最佳控制失败时（？）

为了“提出我的问题”，我必须首先解决一个模型。我将省略一些步骤，但是仍然会不可避免地使这篇文章变得很长-因此这也是对这个社区是否喜欢这种问题的一种测试。

在开始之前，我澄清一下，这看起来似乎完全像一个连续的标准新古典主义增长模型，但事实并非如此：它与一个个体有关，该个体不“代表”他周围经济中的任何人，未建模。这里的框架是“将最优控制应用于单个个体的最大化问题”。这是关于最佳控制解决方案框架和方法本身。

我们解决了一个小商人的跨期效用最大化问题，这个小商人拥有自己公司的资本，而他在一个完全竞争的劳动力市场中购买劳务，并且在一个完全竞争的商品市场中出售产品（新鲜甜甜圈）。我们在连续时间内设定模型，没有不确定性（社会经济条件稳定），并且视野无限（商人设想他将来会连续复制很多）：

max_{c, ℓ, k} \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} \ln c d t s.t. \dot{k} = f (k, ℓ) - w ℓ - δ k - c lim_{t \to \infty} e^{- ρ t} λ (t) k (t) = 0

$\max_{c,\ell,k}\int_0^{\infty}e^{-\rho t}\ln c\,\text{d}t\\ \text{s.t.}\;\; \dot k = f(k,\ell) - w\ell - \delta k - c\\ \lim_{t\rightarrow \infty}e^{-\rho t}\lambda(t) k(t) = 0$

其中 $c$ 是商人的消费， $\ln c$ 是消费的瞬时效用， $\rho>0$ 是纯时间偏好的比率， $k$ 是公司的资本， $\delta$ 是资本折旧率，而 $f(k,\ell)$ 是企业的生产功能。初始资本水平为 $k_0$ 。商人自己在企业中的职业被纳入资本。生产函数是新古典的标准（规模收益不变，边际产品为正，第二部分为负，稻田条件）。约束条件是资本的运动定律，以及使用当前值乘数的横向条件。

设置当前值哈密顿

\hat{H} = \ln c + λ [f (k, ℓ) - w ℓ - δ k - c]

$\hat H = \ln c +\lambda[f(k,\ell) - w\ell - \delta k - c]$

我们计算一阶条件

\frac{\partial \hat{H}}{\partial c} = 0 \Rightarrow \frac{1}{c} = λ \Rightarrow \frac{\dot{c}}{c} = - \frac{\dot{λ}}{λ}

$\frac {\partial \hat H}{\partial c} = 0 \Rightarrow \frac 1c =\lambda \Rightarrow \frac {\dot c}{c} = -\frac {\dot \lambda}{\lambda}$

\frac{\partial \hat{H}}{\partial ℓ} = 0 \Rightarrow λ [f_{ℓ} - w] = 0 \Rightarrow f_{ℓ} = w

$\frac {\partial \hat H}{\partial \ell} = 0 \Rightarrow \lambda [f_{\ell} -w]=0 \Rightarrow f_{\ell} =w$

\frac{\partial \hat{H}}{\partial k} = ρ λ - \dot{λ} \Rightarrow λ [f_{k} - δ] = ρ λ - \dot{λ}

$\frac {\partial \hat H}{\partial k} = \rho\lambda - \dot \lambda \Rightarrow \lambda [f_{k} -\delta]=\rho\lambda - \dot \lambda$

并结合起来，我们得到了商人的消费演变规律，

\begin{matrix} (1) & \dot{c} = (f_{k} - δ - ρ) c \end{matrix}

$\dot c = \big(f_k-\delta -\rho \big)c \tag{1}$

从劳动力需求的最佳规则（静态）和常数返回比例蕴涵（），我们。将其插入到资本运动定律中，我们得到 $\ell: f_{\ell} =w$ $f = f_kk + f_{\ell}\ell$ $f-w\ell = f_kk$

\begin{matrix} (2) & \dot{k} = f_{k} k - δ k - c \end{matrix}

$\dot k = f_kk - \delta k - c \tag {2}$

等式和构成了一个微分方程组。商人的消费和资本的稳态值是 $(1)$ $(2)$

\begin{matrix} (3) & c^{*} = f_{k}^{*} k^{*} - δ k^{*}, k^{*} : f_{k}^{*} = δ + ρ \end{matrix}

$c^* = f_k^*k^* - \delta k^*,\;\;\; k^*: f^*_k = \delta +\rho \tag{3}$

\begin{matrix} (3a) & \Rightarrow c^{*} = ρ k^{*} \end{matrix}

$\Rightarrow c^* = \rho k^* \tag{3a}$

...这是一个非常熟悉的表达方式。

$k^*$ 有时称为资本的“修改后的黄金法则”级别。在稳态值下评估的系统的雅可比行列式对于任何模型参数值都有一个负的行列式，这对于系统表现出鞍形路径稳定性是必要的和充分的条件。

轨迹的最大值位于点（有时称为资本的“黄金法则”水平） $\dot k =0$ $\tilde k$

\begin{matrix} (4) & \tilde{k} : f_{k k} (\tilde{k}) \tilde{k} + f_{k} (\tilde{k}) - δ = 0 \Rightarrow f_{k} (\tilde{k}) = δ - f_{k k} (\tilde{k}) \tilde{k} \end{matrix}

$\tilde k : f_{kk}(\tilde k)\tilde k + f_k(\tilde k) - \delta = 0\Rightarrow f_k(\tilde k) = \delta - f_{kk}(\tilde k)\tilde k \tag{4}$

所述值作为基准重要的：它是资本的水平，其中和处于最大（未最佳或稳态）。 $\tilde k$ $\dot k =0$ $c$

所述位点交叉的相图中的稳态资本水平横轴（即措施资本）。 $\dot c=0$ $k^*$

如果，由于而需要，我们将有“资本积累过多”（太多的甜甜圈）：商人可能会更稳定地享受-资本水平较低的国家消费。使用和我们有 $k^* > \tilde k$ $f_k^* < f_k(\tilde k)$ $(3)$ $(4)$

F_{ķ}^{*} < F_{ķ} （ \overset{〜}{ķ} ） \Rightarrow δ + ρ < δ - F_{ķ ķ} （ \overset{〜}{ķ} ） \overset{〜}{ķ}

$f_k^* < f_k(\tilde k) \Rightarrow \delta + \rho < \delta - f_{kk}(\tilde k)\tilde k$

\begin{matrix} （5） & \Rightarrow ρ < - F_{ķ ķ} （ \overset{〜}{ķ} ） \overset{〜}{ķ} \end{matrix}

$\Rightarrow \rho < - f_{kk}(\tilde k)\tilde k \tag {5}$

不等式是资本处于非最优稳态水平的条件。问题是，我们不能排除它。它仅要求商人“足够耐心”，具有足够小的纯时间偏好率，但仍然是积极的。 $(5)$

这里开始出现问题：在代理人模型中有效地排除了资本的过度积累。重叠的世代模型是可能的，但是作为宏观经济水平上的意外结果，宏观经济可能是微观基础的，并且其行为仍然不同于微观世界的最早例子之一。

但是我们的模型不属于这两个类别：它是隐式异质环境中单个主体的局部均衡模型-而且此处的一般均衡不会改变结果：此人仅代表自己。因此问题在于，如果成立，那么最优控制解决方案显然将不是最优的，因为在这里我们只有一个人，一个意志，一个头脑：通过查看该解决方案，我们的商人会说：嘿，这种方法毫无用处，如果我听从它的建议，我最终将获得次优的资本水平。” $(5)$

我不满足于简单地说“好，最优控制不适合该问题，请尝试另一种方法”，因为我不明白为什么我们应该认为它不合适。但如果是合适的，那么该方法应该发出信号，什么是错，它应该在某些时候需要的是并没有持有，为了能够提供一个解决方案（如果恰巧不保持，一切看起来都变好了）。 $(5)$ $(5)$

一个人可能会怀疑“如果成立，是否违反了横向条件？” -但是看起来好像没有，因为，它变为正常数，而变为零，仅要求。 $(5)$ $\lambda(t)k(t) = k(t)/c(t)$ $e^{-\rho t}$ $\rho>0$

我的问题：

1）有人可以在这里提供一些见解吗？

2）如果有人使用动态编程解决了这个问题并报告了结果，我将不胜感激。

附录
从数学的角度来看，此模型的关键区别在于优化的资本运动定律，即等式。不包括标准模型中的整个输出，而仅包括资本的收益。之所以发生这种情况，是因为我们已经将输出的财产权分开了，这在“单个业务最大化问题”框架中是可以预期的。 $(2)$ $f(k)$ $f_kk$

economic-growth optimal-control dynamic-programming

— 阿莱科斯·帕帕多普洛斯
source

我不确定当您说“ kdot = 0轨迹的最大值”时的意思。关于什么最大？另外，当您计算（4）时，是否不应该完全区分开（2），即您是否也不应计算c的变化，该变化是确保在更改k之后仍满足kdot = 0的必要条件？

— 无处不在

@关于资本的无处不在的最大值。这就是相位图的绘制方式，但是我在这里也不能包括这些计算。对于第二个问题：来自在设置并将消费表示为资本的函数，（未在稳态值下评估）。为了获得此轨迹的形状，我们将其区分为资本。

(4)

$(4)$

\dot{k} = 0

$\dot k =0$

(2)

$(2)$

c = f_{k} k - δ k

$c = f_kk-\delta k$

— 2014年

我还没有检查全部内容，但是我看到的一个问题是，劳动最优性条件（在CRS下）将决定资本/劳动比率，而资本/劳动比率又将决定资本的边际产出，因此在最优路径上将保持不变。然后，该模型等效于具有外生利率的标准节省储蓄的问题，因此，如果MPK-delta> rho，则代理的消耗将以恒定的速率增长（即没有稳态）。

— ivansml 2014年

@ivansml。感谢您的贡献。但是解决方案并未说。稳态是在点，当量。问题在于此稳态对应于什么资本水平，以及它是否高于或低于“黄金法则”水平。

f_{k} - δ > ρ

$f_k -\delta >\rho$

f_{k} - δ = ρ

$f_k -\delta = \rho$

(3)

$(3)$

\tilde{k}

$\tilde k$

— Alecos Papadopoulos

直到现在，我才注意到这个问题比较老了……希望不要紧。返回主题必须由人工FOC确定。仅当值也等于（即巧合（或某些一般均衡考虑）），才会存在稳态。如果它较高，则代理将无限期地积累资本，并且其消耗将增长；如果该值较低，则代理将使资本减少而其消耗下降。实际上，这完全是由于CRS假设所致-“收入”函数一旦公司优化了劳动力，就以为线性，因此稳定增长是可能的。

f_{k}

$f_k$

f_{k}

$f_k$

ρ + δ

$\rho+\delta$

f (k, ℓ) - w ℓ

$f(k,\ell) - w \ell$

k

$k$

— ivansml 2014年

Answers:

我认为问题在于稳态可能不存在，而系统显示出稳定的增长（取决于参数）。

原因是因为该模型等效于具有固定利率和外生利率的标准储蓄节约问题。为了看到这一点，首先考虑劳动选择的一阶条件（这里是 wrt的偏导数，第个参数）。使用不变收益的定义，劳动的边际产品为这仅是资本劳动比率的函数。如果工资是常数，则劳动FOC唯一确定最优 $f_2(k,\ell) = w$ $f_i$ $f$ $i$

\frac{\partial}{\partial ℓ} f (k, ℓ) = \frac{\partial}{\partial ℓ} [f (\frac{k}{ℓ}, 1) ℓ] = f_{1} (\frac{k}{ℓ}, 1) \frac{- k}{ℓ} + f (\frac{k}{ℓ}, 1)

$\frac{\partial }{\partial \ell} f(k,\ell) = \frac{\partial }{\partial \ell} \left[ f \left( \frac{k}{\ell},1 \right) \ell \right] = f_1 \left( \frac{k}{\ell},1 \right) \frac{-k}{\ell} + f \left( \frac{k}{\ell},1 \right)$

k / ℓ

$k/\ell$ 比率作为工资和其他参数的函数。由于资本的边际积也取决于，它沿最优路径将是恒定的。表示该边际乘积，并表示折旧的回报净额。资本和消费动态的等式（1）-（2）是和满足横向条件的特定解决方案应为

w

$w$

\frac{\partial}{\partial k} f (k, ℓ) = \frac{\partial}{\partial k} [f (\frac{k}{ℓ}, 1) ℓ] = f_{1} (\frac{k}{ℓ}, 1)

$\frac{\partial }{\partial k} f(k,\ell) = \frac{\partial }{\partial k} \left[ f \left( \frac{k}{\ell},1 \right) \ell \right] = f_1 \left( \frac{k}{\ell},1 \right)$

k / ℓ

$k/\ell$

r^{*}

$r^*$

r = r^{*} - δ

$r = r^* - \delta$

\begin{aligned} {\dot{c}}_{t} & = (r - ρ) c_{t} \\ {\dot{k}}_{t} & = r k_{t} - c_{t} \end{aligned}

$\begin{split} \dot c_t &= (r - \rho) c_t \\ \dot k_t &= r k_t - c_t \end{split}$

c_{t} = ρ k_{t}

$c_t = \rho k_t$ 在给定下，即每时每刻消耗着恒定的财富。资本和消费都以速率增长，因此除非资本回报率（这里取决于外生工资率）等于时间偏好率，否则就没有稳态。

k_{0}

$k_0$

(r - ρ)

$(r-\rho)$

w

$w$

— 伊万斯姆
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（+1）谢谢。我现在将其作为我的答案。

— Alecos Papadopoulos

好答案。基本上，一旦最优地选择了劳动力，利润函数的资本就变成线性的-因此，该模型可以归结为一个AK模型，该模型的性质（包括稳态增长）已得到很好的理解。

— 名义上

@nominallyrigid但是只有在我们假设工资保持不变的情况下。请记住，这不是一般的均衡，而是一个很小的个体在经济海洋中游动。

— Alecos Papadopoulos 2014年

我将其发布为答案，因为它继续在用户@ivansml答案上进行……这是在此处标识捕获的那个，我天真地忽略了一个捕获（尽管这是一个狭窄的案例，但随后出现了有趣的标准。但是，应该已经解决了）。

实际上，在外生工资率和劳动力需求的完全竞争性优化的情况下，资本的边际产出仅由模型的参数和工资率决定。对于假设工资率恒定的简单情况，@ ivansml的分析成立：模型成为内生增长之一：资本的边际产品是恒定的，这是内生增长所需要的，那里没有稳定的增长。水平陈述。

表示和，可以写出OP的方程式和 $\hat c = \dot c/c$ $\hat k = \dot k /k$ $(1)$ $(2)$

\begin{matrix} （1b） & \hat{C} = F_{ķ} - δ - ρ \end{matrix}

$\hat c = f_k-\delta -\rho \tag{1b}$

\begin{matrix} （2b） & \hat{ķ} = F_{ķ} - δ - C / ķ \end{matrix}

$\hat k = f_k - \delta - c/k \tag{2b}$

因为是常数，所以消费的增长率是常数-取决于参数和工资，为零，正或负。另一方面，关于时间区分，我们得到 $f_k$ $(2b)$

\dot{\hat{ķ}} = （ \hat{ķ} - \hat{C} ） \cdot （ C / ķ ）

$\dot {\hat k} = (\hat k - \hat c)\cdot (c/k)$

很明显，对于稳态增长，我们希望，仅当才能从获得。容易验证，因为，所以横断性条件成立的唯一方法是，如果消费和资本以相同的速率（或保持不变）增长或收缩。 $\hat k = \hat c$ $(2b)$ $c = \rho k$ $\lambda(t) = c(t)$

在适当的内生增长模型中，我们考察了整个经济，我们只是假设模型的参数使得增长率为正，因为这是我们在现实世界中观察到的。但是在这里，我们只有一个人。那么，我们可能要告诉我们的商人？

如果，则增长率为正，并且他的消费和资本都应“永远”增长，并保持恒定的比率。如果，则增长率为零，并且两个变量永远保持恒定。如果，则增长率为负，我们应该进入一个减少消费和资本的下行螺旋形（始终保持的关系）。 $f_k-\delta -\rho >0$
$f_k-\delta -\rho =0$
$f_k-\delta -\rho <0$ $c= \rho k$

这有一定的直觉，验证了“最优控制”应用程序的适用性：在给出其他参数和工资率的情况下，“耐心”越大（越大），个人越有可能会经历消费水平的降低，因为他的喜好并没有太大的未来，因此也没有投资。当然，作为解决方案，单调向下的螺旋线听起来可能不太现实-但这是一个非常程式化的模型，以必然高度正式的数学语言提供了基本的总体趋势。 $\rho$

在真正有趣的部分，如果将开始我们考虑的变量工资。这可以为我们的小商人及其消费投资决策创造各种有趣而复杂的动力。

— 阿莱科斯·帕帕多普洛斯
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我认为关键问题是该公司是否是经济中唯一的公司。如果是，那么采用不再是正确的，因为受其自身资本积累决策的影响。在这种情况下，应在设置哈密顿量时进行在式（2）之前所做的替换。另一方面，如果这是许多公司之一，则工资率是外生的，则等式之前的替代。（2）无效。我认为你需要大端仔细区分，在经济中的总资本和little-本决策者选择的资本。 $w$ $w$ $k$ $k$

— Jyotirmoy Bhattacharya
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我严格地看一个单一的公司，它仍然太小而无法影响总体。因此，您的第二条评论是相关的，在这里您说“等式（2）之前的替换无效”。我不明白为什么。您能（最好是正式地）详细说明吗？谢谢。

— Alecos Papadopoulos 2014年

@AlecosPapadopoulos我认为问题不是数学上的，而是一种解释。如果我的公司太小而无法影响经济，为什么我的公司不考虑或，我选择的似乎就是您之前进行替代时隐含的假设（2 ），然后相对于区分方程的RHS 。

w = f_{l}

$w=f_l$

r = f_{k}

$r=f_k$

k

$k$

\dot{k}

$\dot k$

k

$k$

— Jyotirmoy Bhattacharya 2014年

@JyotirmoyBhattacharya是假设竞争市场的标准结果。

— FooBar 2014年

@FooBar在竞争市场中，您选择和使得和。条件不满足于任意的和。

k

$k$

l

$l$

w = f_{l}

$w=f_l$

r = f_{k}

$r=f_k$

l

$l$

k

$k$

— Jyotirmoy Bhattacharya 2014年

好的，我毕竟必须写哈密顿量，并且还要更长一些。

— 2014年