为什么Cobb-Douglas生产函数如此受欢迎？

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作为相对新手的定量分析师/成本分析师，我被要求多次评估给定组织的生产率水平，然后预测接下来的两个时期。我工作的地方是一个相对较小的非营利组织（约30人），致力于食品银行的捐赠和志愿者募捐，所以我不确定公司的规模是否与此有关。

在大多数情况下，我被要求提供特定的单位，而不是百分比变化或弹性，因此我被迫提出两种生产功能之一。

$f (x_{1}, . . ., x_{n}) = Σ_{i = 1}^{n} β_{i} x_{i}$ $f(x_1,...,x_n)=\Sigma_{i=1}^n\beta_i x_i$
$f (x_{1}, . . ., x_{n}) = γ min (x_{1}, . . ., x_{n})$ $f(x_1,...,x_n)=\gamma \min(x_1,...,x_n)$

但是，当我阅读经济文献时，总是看到柯布·道格拉斯（或者像格里格利一样的变种）一直在使用。

我知道它具有数学上显示出单个生产要素的规模收益递减的特性，但是我很难在我的工作中看到它。它是生产真实商品的专有生产功能吗？

mathematical-economics production-function

— 约翰·
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我认为CD生产函数的一个不错的特性是它的参数（输入的指数）捕获了输入在输出中所占的份额，因此可以轻松地进行校准。

— Herr K.

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Cobb Douglas生产函数之所以如此受欢迎的原因是，在满足以下假设的前提下，仍然保持统计上的严格¹：

回顾一下Cobb- Douglas生产函数形式：

F (K, A L) = K^{α} (A L)^{1 - α}

$F(K,AL)=K^{\alpha}(AL)^{1-\alpha}$

其中（即进入资本输出的份额） $0<\alpha <1$

$1)$ 边际产品为正：

\frac{\partial F (K, A L)}{\partial K} > 0, \frac{\partial F (K, A L)}{\partial (A L)} > 0

${\partial{F(K,AL)}\over{\partial K}}>0 \space , \space\space{\partial{F(K,AL)}\over{\partial (AL)}}>0$

$2)$ 减少边际产品（正如您已经提到的）

\frac{\partial^{2} F (K, A L)}{\partial K^{2}} < 0, \frac{\partial^{2} F (K, A L)}{\partial (A L)^{2}} < 0

${\partial^2{F(K,AL)}\over{\partial K^2}}<0 \space , \space\space{\partial^2{F(K,AL)}\over{\partial (AL)^2}}<0$

$3)$ 规模报酬不变（这是大多数生产过程的工作方式）

F (λ K, λ A L) = λ F (K, A L)

$F(\lambda K, \lambda AL)= \lambda F(K, AL)$

对于任何（例如“双输入双输出”） $\lambda \ge 0$ $\Rightarrow$

希望这可以帮助！！

_{¹资料来源：https : //zh.wikipedia.org/wiki/Cobb%E2%80%93Douglas_production_function}

— 怪胎弗兰克
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正如您在问题中暗示的那样，在CD生产功能流行之后，真正的根本原因（在我看来）是数学上的便利。和是“缩放比例返回”的漂亮直观表示，这一事实非常方便。 $\alpha + \beta$

我认为它的使用类似于数学金融中指数或幂函数的使用。不切实际？也许吧，但是合作起来是如此友好。

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好的，我想我做了很多隐含的假设，因为在上一个答案中我对您的功能感到困惑，这使我的答案很混乱。因此，这次我尝试变得更加明确。我只会考虑您的第一个功能。

现在，如果这是一个生产函数，则是输入，而您只有一个输出。现在，您的生产函数具有以下属性：和。这意味着您的输入是完全相互独立的。仅或都可以达到相同的输出。如果您的投入是资本和劳力，这是没有意义的（至少要等到我们实现完全自动化的生产，而您在生产过程中的任何地方都不需要人手时）才有意义。因为如果它们中的任何一个在现实世界中都为0，那么您将不会获得任何输出。 $x_i$ $\frac{df}{dx_i}=\beta_i$ $\frac{df}{dx_jdx_i}=0$ $x_1$ $x_2$

这种考虑使我相信您的模型生产方法，这意味着它们已经包含资本和劳动力的混合体。在这种情况下，您只需对这些不同的生产方法进行优化，然后选择最佳的生产方法。与成本之比最高的。因为在公司一级，边际成本很可能是恒定的。 $x_1$ $\beta_i$

从公司的角度来看，这是一个合理的模型。您只能在这些生产方法之间进行选择，因此，您将“资本”和“劳动力”混在一起的事实与您无关。您可以优化功能，并在固定成本的情况下选择最佳生产方法。（假定的）简化是，您无需考虑扩展或生产如何改变生产方法中的边际成本。

（如果扩张是在经济规模上，那么您将通过雇用更多的工人来增加工人的工资，这有时会导致您选择更多的资本密集型生产方法）

经济学家从不同的角度看待这一问题：他们对资本/劳动力比率感兴趣，而不对特定的生产方法感兴趣。他们想要一个以资本和劳动力为输入，选择给定输入的最佳生产方法并返回输出的功能。他们的假设是，在这样的规模上，有许多种不同的生产方法，您可以将它们刷掉，基本上可以在Capital and Labor中获得连续的功能。

他们想要一个具有Cobb-Douglas函数提供的属性模型。 $\frac{df}{dx_jdx_i}>0$

您基本上是在将粒子模拟与流体模拟进行比较。模拟单个水分子的方程式与模拟水流的方程式将有所不同。看起来一个与另一个没有任何关系。

我想到的另一种可能性是，该函数实际上是产生输出的成本函数，但是根据定义，您有固定的边际成本。同样，这是一个合理的假设，可以在微观层面上做出，而不是在宏观层面上做出。 $(x_1, ...,x_n)$ $x_i$

— 菲利克斯·B。
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“ Cobb-Douglas”没有出现在您的答案中有点奇怪。

— Giskard '17

Cobb-Douglas的功能是对以劳动力和资本为输入的总产出进行建模，并建模改变资本/劳动力所占份额对产出的影响。（由于资本的变化，劳动的边际生产率的变化）我谈论的是在优化一个单位的生产后如何将这些份额的考虑因素抛弃，因为对于小公司来说，边际成本可以近似为常数。

— Felix B.

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Cobb-Douglas生产函数之所以如此流行，只是因为它是为数不多的可以显式计算输入需求（和输出供给）函数的函数之一。Cobb-Douglas生产函数通常用于学士级别（讲座，考试和练习），因为我们可以求解一阶条件系统。但是，这种功能形式具有很大的局限性，经验上拒绝了它的有效性。因此，在总体上，我们使用不受限制的形式对生产函数重述了微观经济学理论（例如，参见Mas Colell等人的教科书），并使用隐含函数定理或对偶理论来得出比较静态结果。

— 贝特朗
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