包络定理是否适用于拐角解决方案？

假设我们有以下生产函数：

$$F(L,K)=\max_{L_K}H(L,L_K,K)=\max_{L_K}\left[(L-L_K+1)^\alpha(L_K+K)^{1-\alpha}\right]=(L-L_K^*+1)^\alpha(L_K^*+K)^{1-\alpha}$$

约束。$L_K\in[0,L]$

我们知道 因此值为在其导数为零是。并且最优值是：

$$\frac {dH}{dL_K}=\alpha(L-L_K+1)^{-1}H+(1-\alpha)(L_K+K)^{-1}H=0$$ $L_K$$L_K^0=\frac {(1-\alpha)(L+1)+\alpha K}{1-2\alpha}$$L_K^*$ $$L_K^*=\begin{cases} L_K^0 &\text{ if } &0<L_K<L &(1)\\ L&\text { if } &L<L_K^0&(2)\\ 0 &\text { if } &L_K^0<0 &(3) \end{cases}$$

很明显，如果，（case），则包络定理成立：$L_K^*\in(0,L)$$(1)$

$$\frac d {dL} F(L,K)=\frac \partial {\partial L}H(L,L_K^*,K)=\alpha(L-L_K^*+1)^{-1}\cdot F(L,K)$$

而且，在第三种情况（3）中，我也清楚包络定理成立。但是，我对第二种情况不太确定（2）。我会说在这种情况下包络定理不成立，因为如果我们将替换回原始生产函数，我们得到 在这种情况下 ，关于的导数是 $L_K^*$

$$F(L,K)=1^\alpha(L+K)^{1-\alpha}$$ $L$ $$(1-\alpha)(L+K)^{-1}\cdot F(L,K)$$

对于在情况3中保持的包络定理，这将需要，其几乎总是不成立。$\alpha= (1-\alpha)(L+K)^{-1}$

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但这让我感到困惑的原因是，在这个问题中，我被提到了本文，其中有一个定理表明：

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所以我的问题是：

1. 当处于拐角处时，我是否正确，包络定理不成立？$L_K$

2. 这是否与定理相矛盾，还是我误解了这个定理？如果不是，那么定理是否正确？

首先，您在计算中出现了符号错误。在纠正了你的错误之后，你错过的一个关键假设是，，即选择集，不依赖于定理中的变量（带有定理的符号）。为了正确应用定理，间隔不应该依赖于。$X$$t$$[0,L]$$L$

A）符号错误

$$\frac{\partial H}{\partial L_K}=-\alpha (L-L_K+1)^{-1}H+(1-\alpha)(L_K+K)^{-1}H=0$$ 我们定义。$L_K^0= (1-\alpha)(L+1)-\alpha K$

B）为什么我们可以认为包络定理的结果可能会失败

假设，有四种可能的情况。$0<\alpha<1$

（1）。可以检查目标函数是否为凹，因此。$L_K^0\in [0,L]$$L_K^*=L_K^0$

（）和。然后。$L_K^0\notin [0,L]$$H(L,0,K)< H(L,L,K)$$L_K^*=0$

（2.ii）和。然后。$L_K^0\notin [0,L]$$H(L,0,K)> H(L,L,K)$$L_K^*=L$

（2.iii）（只是为了穷举）和。这时有两种解决办法，和。$L_K^0\notin [0,L]$$H(L,0,K)= H(L,L,K)$$0$$L$

在情况（1）中， 由于一阶条件，右边的第二项等于零。这与内部解决方案的包络定理结果兼容。

$$\frac{\partial F}{\partial L}(L,K)=\frac{\partial H}{\partial L}(L,L^*_K,K)+\frac{\partial L^*_K}{\partial L}.\frac{\partial H}{\partial L_K}(L,L^*_K,K).$$

在（2.i）的情况下，，因此 这与包络定理的角点解决方案的结果兼容。$F(L,K)=H(L,0,K)$

$$\frac{\partial F}{\partial L}(L,K)=\frac{\partial H}{\partial L}(L,0,K).$$

在情况（2.ii）中，，因此$F(L,K)=H(L,L,K)$

$$\frac{\partial F}{\partial L}(L,K)=\frac{\partial H}{\partial L}(L,L_K=L,K)+\frac{\partial H}{\partial L_K}(L,L_K=L,K).$$

我们必须对这里的符号保持谨慎，表示对应于第一个参数的偏导数，而表示第二个参数。右边的第二项是非零的，不符合包络定理的结果。$\frac{\partial H}{\partial L}$$\frac{\partial H}{\partial L_K}$

C）为什么它实际上没有失败

将问题写为，其中 这个问题等同于最初的问题。关键的区别是，该间隔不依赖于或。这就是我们可以应用包络定理的原因，而之前应用它是错误的。$F(L,K)=\max_{x\in [0,1]}H(x,L,K)$

$$H(x,L,K)=(L-x L+1)^\alpha(x L+K)^{1-\alpha}.$$ $[0,1]$$L$$K$

我们可以检查情况（2.ii）是否与包络定理兼容，我们有，因此$F(L,K)=H(x=1,L,K)$

$$\frac{\partial F}{\partial L}(L,K)=\frac{\partial H}{\partial L}(x=1,L,K).$$