游戏中合理化的策略

考虑一种游戏，其中玩家同时选择任何实数x并且玩家2选择任何实数y。收益来自：$1$$x$$2$$y$

$u_1 (x, y) = 2x − x^2 + 2xy$

$u_2 (x, y) = 10y − 2xy − y^2.$

（a）根据对方球员的纯策略计算每个球员的最佳反应函数。

（b）查找并报告游戏的纳什均衡。

（c）确定此游戏的合理化策略配置文件。

我得到了前两部分

$\partial u_1 / \partial X = 0 \implies 2 – 2X + 2Y = 0$ $\implies$玩家最佳响应$1 = 1 + Y$

$\partial u_2/ \partial Y = 0 \implies 10 – 2Y – 2X = 0$ $\implies$玩家最佳响应$2 = 5 – X$

纳什均衡

$BR_2 = 5-(1+Y)$

以便

$Y^* = 2$且。$X^* = 3$

纳什均衡是。$(3,2)$

我不确定合理化的策略。我认为这是合理化的策略，因为没有一个数字严格由另一个数字控制，所以这两个玩家都是实数。例如，如果玩家2选择10,11是玩家1的最佳策略并且支配其他数字。但是，如果玩家2选择11,12则是玩家1的最佳策略，12在这种情况下占主导地位11。然后，该逻辑适用于所有实数。我不确定这个逻辑是否正确。任何帮助是极大的赞赏。

您的计算为您提供纯策略中的所有纳什均衡。纯策略中唯一的纳什均衡确实是唯一的纳什均衡，但这需要一个论证。仔细观察支付函数表明，对于玩家1而言，玩家2是玩纯策略还是混合策略与期望无关。类似的论点适用于另一方。但随后的计算结果表明，每个玩家在纯策略中都能对另一个玩家的每个混合战略都有独特的最佳反应。此外，混合的最佳响应必须随机化而不是纯粹的最佳响应，因此所有最佳响应必须采用纯策略。特别是，每个纳什均衡必须采用纯策略。$y$$y$

现在，可合理化的策略是在迭代消除永不最佳响应的过程中存活的策略。每个策略都是最佳响应，并且永远不会被淘汰，因此每个纯策略配置文件都是合理的。如果您根据混合策略定义合理性，上面的论证向您展示了您仍然只将纯策略作为可合理化策略。如何定义具有无限动作空间的可合理性有一些细微之处，但它们在这里都是无关紧要的。