具有连续商品的经济体中的最佳消费者

考虑一个具有连续商品的经济，在每个点都有一个商品。 $[0,1]$

假设消费者想要最大化服从，其中是第 -th消费的商品，是价格，是消费者的货币收入。

U = \int_{0}^{1} c_{i}^{θ} d i 0 < θ < 1

$U = \int_0^1 c_i^\theta\,di\qquad 0<\theta<1$

\int_{0}^{1} p_{i} c_{i} d i = M

$\int_0^1 p_i c_i\,di = M$

c_{i}

$c_i$

i

$i$

p_{i}

$p_i$

M

$M$

例如，在将Dixit-Stiglitz模型应用于宏观经济学或国际贸易时就会出现这种问题。

解决该问题的方法据认为是，其中是选择用来确保满足预算约束的常数。

c_{i} = A p_{i}^{\frac{1}{θ - 1}}

$c_i = Ap_i^{1 \over {\theta-1}}$

A

$A$

对于这个结果的推导，我感到不满意，该推导使用拉格朗日乘子来模拟有限数量的商品。得出以上结果的完全数学严格的方法是什么？

似乎没有唯一的解决方案，因为对于有限数量的值任意更改的值将使效用函数中的积分和预算约束保持不变。我期望完全严格的推导也可以正确指出这种程度的非唯一性。 $c_i$ $i$

编辑：响应@BKay，@Ubiquitous的评论。我从以商品为起点的经济体开始，将极限设为是，这需要伴随一个论点，该论据表明最优极限是极限问题的最佳选择。我希望引用一个结果，该结果针对此特定问题或适用于此问题的一般结果进行说明。 $n$ $n \to \infty$

回应@AlecosPapadopoulos。在经济学课程的数学中所教授的Langrange乘数法的证明通常是针对有限数量的选择变量。我希望参考一下该方法为选择变量的连续性辩护的地方。另外，我上面提到的非唯一性表明该方法不能完全正确。那么，其有效性到底需要什么条件？

microeconomics mathematical-economics

— Jyotirmoy Bhattacharya
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我同意OP，当空间变成无限维时，很多潜在的错误。对我来说，尚不清楚最优极限是该极限的最优。

— FooBar 2014年

Answers:

完全严格的事情是写出这种变化微积分问题的欧拉拉格朗日方程，这将为您提供一个有力的解决方案，或者为分布分配一个弱的解决方案。

— 用户名
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但是，如何将我的预算约束纳入变化公式计算中？

— Jyotirmoy Bhattacharya 2014年

请查看此链接，math.stackexchange.com/questions/279518/…，一个滞后乘数函数！，这是您所需要的，这将为您提供一个可以逐点解释的强大解决方案，尽管它必须对主要指标几乎可以肯定

— user157623

谢谢。在您提示使用变分微积分后，我在Kolomogorov的第12节中找到了一个定理1，而Fomin的变分微积分似乎确实处理了表示为积分的约束。因此从某种意义上说，毕竟可以使用Langrange乘数。

— Jyotirmoy Bhattacharya 2014年

这很有用-但作为注释，而不是答案。

— Alecos Papadopoulos

您说得很对，Jyotirmoy Bhattacharya，也许有人可以对其进行编辑，以使其成为评论中提供的完整答案。

— user157623 2014年

正如OP在评论中指出的那样，Kolomogorov和Fomin的微积分计算的第12节中的定理1 似乎提供了一些安慰，即当变量的数量为无限时，我们确实可以使用Langrange Multiplier方法。尽管如此，作者还是在脚注中这样做，写道“读者将很容易认识到 Langrange乘数的类比 ”。所以不，这不能严格显示我们想要的东西。

我认为我们需要的是Craven，BD（1970）这样的论文。拉格朗日乘数的一般化。澳大利亚数学学会公报，3（03），353-362。在其摘要中写道：

广义拉格朗日乘法器用于解决约束固定值问题的方法被通用化，以允许函数在任意Banach空间（在实域上）取值。有限维问题中的拉格朗日乘数集被相关的Banach空间之间的连续线性映射所取代。

这是数学上的说法，但它说了我们想听的内容（人们也可以在维基百科上找到对内容的信任程度的简短说明）。

然后，我们可以形成问题的拉格朗日

Λ = \int_{0}^{1} c_{i}^{θ} d i + λ (M - \int_{0}^{1} p_{i} c_{i} d i)

$\Lambda = \int_0^1 c_i^\theta\,\text{d}i +\lambda\left(M - \int_0^1 p_i c_i\,\text{d}i\right)$

并通过非正式地讲“看积分并看总和”来计算一阶条件，

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial Λ}{\partial c_{i}} = 0 \Rightarrow θ c_{i}^{θ - 1} = λ p_{i}, i \in [0, 1] \end{matrix}

$\frac{\partial \Lambda}{\partial c_i} = 0 \Rightarrow \theta c_i^{\theta-1} = \lambda p_i, \;\; i \in [0,1] \tag{1}$

一系列条件为了以后使用，我们定义

σ \equiv 1 / (1 - θ), \Rightarrow 1 - θ = 1 / σ, θ = \frac{σ - 1}{σ}

$\sigma \equiv 1/(1-\theta), \Rightarrow 1-\theta = 1/\sigma, \;\; \theta = \frac {\sigma-1}{\sigma}$

常数可以显示为任意两种商品之间的替代弹性。 $\sigma$

写出商品并通过公有拉格朗日乘数等于 $(1)$ $j$

\begin{matrix} (2) & c_{i} = {(\frac{p_{i}}{p_{j}})}^{- σ} c_{j} \end{matrix}

$c_i = \left(\frac {p_i}{p_j}\right)^{-\sigma}c_j \tag{2}$

将两边分别乘以并相对于在商品空间上取整数： $p_i$ $i$

\int_{0}^{1} p_{i} c_{i} d i = \int_{0}^{1} p_{i}^{1 - σ} p_{j}^{- σ} c_{j} d i

$\int_0^1 p_i c_i\,\text{d}i = \int_0^1 p_i^{1-\sigma}p_j^{-\sigma}c_j\,\text{d}i$

\Rightarrow M = p_{j}^{σ} c_{j} \int_{0}^{1} p_{i}^{1 - σ} d i

$\Rightarrow M = p_j^{\sigma}c_j\int_0^1 p_i^{1-\sigma}\,\text{d}i$

\begin{matrix} (3) & \Rightarrow c_{j} = p_{j}^{- σ} \cdot M \cdot {(\int_{0}^{1} p_{i}^{1 - σ} d i)}^{- 1} \end{matrix}

$\Rightarrow c_j = p_j^{-\sigma} \cdot M \cdot \left(\int_0^1 p_i^{1-\sigma}\,\text{d}i\right)^{-1} \tag{3}$

这是马绍尔对商品需求。 $j$

— 阿莱科斯·帕帕多普洛斯
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机械地应用Kolmogorov-Fomin结果可以为我们提供解决方案。因此，我们不必诉诸拉格朗日乘数的类比。我在单独的答案中写出来。

— Jyotirmoy Bhattacharya 2014年

这只是@ user157623给出的答案的详细说明。为了方便起见，我将其发布为社区Wiki。

柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）第12节的定理1和福明（Fomin）的微积分学说

给定函数令可容许曲线满足条件其中是另一个函数，令具有的极值。然后，如果不是的极值，则存在一个常数，使得是函数即满足微分方程
$J [y] = \int_{a}^{b} F (x, y, y^{'}) d x,$ $J[y] = \int_a^b F(x,y,y')\,dx,$ $y (a) = A, y (b) = b, K [y] = \int_{a}^{b} G (x, y, y^{'}) d x = l,$ $y(a)=A,\quad y(b)=b, \quad K[y] = \int_a^bG(x,y,y')\,dx=l,$ $K[y]$ $J[y]$ $y=y(x)$ $y=y(x)$ $K[y]$ $\lambda$ $y=y(x)$ $\int_{a}^{b} (F + λ G) d x,$ $\int_a^b (F+\lambda G)\,dx,$ $y=y(x)$ $F_{y} - \frac{d}{d x} F_{y^{'}} + λ (G_{y} - \frac{d}{d x} G_{y^{'}}) = 0.$ $F_y-\frac{d}{dx}F_{y'}+\lambda\left(G_y-\frac{d}{dx}G_{y'}\right)=0.$

我们可以通过将设为，设为，和来尝试将此定理应用于我们的问题。 $x$ $i$ $c$ $y$ $F(i,c,c')=c^\theta$ $G(i,c,c')=pc$

然后，定理中的最终微分方程变为，这正是我们所需要的。

θ c_{i}^{θ - 1} + λ p_{i} = 0

$\theta c_i^{\theta-1} + \lambda p_i=0$

该定理适用吗？我们的是线性的，因此不能有极值，因此很容易满足没有极值的要求。上的边界条件和不问题，因为如果一个路径，说是极值，没有任何边界条件则它是该组内的极值。 $K[y]$ $y(a)$ $y(b)$ $c$ $c^*(i)$ $c(0)=c^*(0), c(1)=c^*(1)$

唯一的问题在于定理本身的性质。它提供了优化的必要条件。鉴于在我们的情况下必要条件给出了独特的结果，我们需要使其满足要求的所有条件就是证明我们的问题有解决方案。

Kolmogorov-Fomin中的证明假定我们正在处理的函数具有连续的一阶导数。因此，我们仍然需要证明消费者的问题在此类功能中具有最优性，但前提是问题已得到解决。

— Jyotirmoy Bhattacharya
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