需要帮助来理解Myerson和Satterthwaite（1983）中的证明

下图摘自Myerson和Satterthwaite于1983年发表的论文《双边贸易的有效机制》：

我知道该定理的全部内容，我需要的是有关积分的帮助（尤其是第二个等号处的那个）。

mathematical-economics game-theory mechanism-design

— superhulk
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您能否详细说明您认为不清楚的地方？

我能够将这个双重积分转换成一个单一的积分。我无法处理进一步的计算。

— superhulk

我正在为我的论文为该定理提供稍有不同的证明，而最后一步也让我陷入了困境。

— Pedro Cavalcante

我们希望问题没有大的数学文字图片，但是对于本网站，它已转换为MathJax类型。

— Kitsune Cavalry

我假设“在[第二个等号”处”是指第一个等号的右边到第二个等号的右边的翻译。这可以通过分别分析每个积分来处理。

$v_2$

\int_{a_{1}}^{min {v_{2}, b_{1}}} [v_{2} f_{2} (v_{2}) + F_{2} (v_{2}) - 1] f_{1} (v_{1}) d v_{1} = [v_{2} f_{2} (v_{2}) + F_{2} (v_{2}) - 1] \int_{a_{1}}^{min {v_{2}, b_{1}}} f_{1} (v_{1}) d v_{1} .

$\int_{a_1}^{\min\{v_2,b_1\}} \left[ v_2 f_2\left( v_2 \right) + F_2\left( v_2 \right) - 1 \right] f_1\left( v_1 \right) dv_1 \\\hspace{3cm}= \left[ v_2 f_2\left( v_2 \right) + F_2\left( v_2 \right) - 1 \right] \int_{a_1}^{\min\left\{ v_2, b_1 \right\}} f_1\left( v_1 \right) dv_1.$

右手积分的上限就位于CDF的上限，因此，考虑到对于所有。按照原始方程式， $\int_{a_1}^{\min\{ v_2, b_1 \}} f_1( v_1 ) dv_1 = F_1( v_2 )$ $F_1( x ) = 1$ $x \geq b_1$

\int_{a_{2}}^{b_{2}} \int_{a_{1}}^{min {v_{2}, b_{1}}} [v_{2} f_{2} (v_{2}) + F_{2} (v_{2}) - 1] f_{1} (v_{1}) d v_{1} d v_{2} = \int_{a_{2}}^{b_{2}} [v_{2} f_{2} (v_{2}) + F_{2} (v_{2}) - 1] F_{1} (v_{2}) d v_{2} . (Term L)

$\int_{a_2}^{b_2} \int_{a_1}^{\min\{v_2,b_1\}} \left[ v_2 f_2\left( v_2 \right) + F_2\left( v_2 \right) - 1 \right] f_1\left( v_1 \right) dv_1 dv_2 \\\hspace{3cm}= \int_{a_2}^{b_2} \left[ v_2 f_2\left( v_2 \right) + F_2\left( v_2 \right) - 1 \right] F_1\left( v_2 \right) dv_2. \hspace{2cm} \text{(Term L)}$

请注意，第二（双）积分中的内部被积可以写成

v_{1} f_{1} (v_{1}) + F_{1} (v_{1}) = \frac{d}{d v} {[v F_{1} (v)]}_{v = v_{1}} .

$v_1 f_1\left( v_1 \right) + F_1\left( v_1 \right) = \frac{d}{dv} \left[ v F_1\left( v \right) \right]_{v = v_1}.$

由于（因为）和对于所有，因此得出 $a_1 F_1( a_1 ) = 0$ $F_1( a_1 ) = 0$ $x F_1( x ) = x$ $x \geq b_1$

\int_{a_{2}}^{b_{2}} \int_{a_{1}}^{min {v_{2}, b_{1}}} [v_{1} f_{1} (v_{1}) + F_{1} (v_{1})] d v_{1} f_{2} (v_{2}) d v_{2} = \int_{a_{2}}^{b_{2}} min {v_{2} F_{1} (v_{2}), b_{1}} f_{2} (v_{2}) d v_{2} . (Term R)

$\int_{a_2}^{b_2} \int_{a_1}^{\min\left\{ v_2, b_1 \right\}} \left[ v_1 f_1\left( v_1 \right) + F_1\left( v_1 \right) \right] dv_1 f_2\left( v_2 \right) dv_2 \\ \hspace{3cm} = \int_{a_2}^{b_2} \min\left\{ v_2 F_1\left( v_2 \right), b_1 \right\} f_2\left( v_2 \right) dv_2. \hspace{2cm} \text{(Term R)}$

第二个等式是。 $\text{(Term L)} - \text{(Term R)}$

— 凯尔
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