具有三个结果的期望效用定理的证明

我试图用三个结果证明期望效用定理。在经济学教科书Mas-Colell中，具有$n$结果的预期效用相当繁琐且时间长。但是我希望三个结果的证明更短，但是，我在证明它方面有些困难。

假设我有三个彩票$x \succeq y \succeq z$。我们可以将$x$视为“最佳”彩票，将$z$视为“最差” 彩票。该可以设置 $u(x)=1$和$u(z)=0$，然后$u(y)=p$，其中$p$是在其中具有一个赌博的概率$p$的机会$x$和$1-p$的机会$z$无所谓$y$。

我如何从这里继续证明期望效用定理？

对于$n$结果，欧盟指出给定$\succeq$满足独立性和连续性公理，有一个效用函数$u:Z\rightarrow \mathbb{R}$使得如果

编辑：让$u(x)= 1$和$u(z) = 0$线性缩放效用函数。因此，我们想 通过独立公理证明

$x \succeq y \succeq z$$u(x) \geq u(y) \geq u(z)$$p \in [0,1]$

$u\left ( px + (1-p)z \right ) = pu(x) + (1-p)u(z)$

$u(·)$$R$$r\in R$$w_r$$r$

$y$$z$$p_i$$i.$$x$

$(H(·))$

$u(r) \equiv H(w_r),$$u(r)$$H(w_r)$$u(r)$$r$$r$

当然，期望效用在具有大结果空间和/或大彩票空间的环境中最有用。在诸如您这样的受限设置中，最好通过为彩票本身分配值（“实用程序”）来为您提供最好的服务（就像您在问题中所做的那样）。同样，在Huang和Litzenberger的同前文中可以找到更为严格的证据。