派生translog生产函数

我一直难以推导出定义为的translog生产函数：

LN ÿ = α_{0} + Σ_{一世 = 1}^{ñ} α_{一世} LN X_{一世} + \frac{1}{2} Σ_{一世 = 1}^{ñ} Σ_{Ĵ = 1}^{ñ} β_{一世 Ĵ} LN X_{一世} LN X_{Ĵ}

$\ln y=\alpha_0+\sum_{i=1}^n\alpha_i \ln x_i+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\ \beta_{ij}\ln x_i\ln x_j$

我知道我们从日志日志生成功能开始。

LN ÿ = α_{0} + Σ_{一世 = 1}^{ñ} α_{一世} LN X_{一世}

$\ln y=\alpha_0+\sum_{i=1}^n\alpha_i\ln x_i$

我记得的下一步是将这个函数的泰勒序列围绕点 $x_i=0$ 。这是一个问题的原因是因为 $\ln(0)$ 未定义。

这个函数到底是怎么产生的？

microeconomics econometrics production-function

— EconJohn
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Answers:

translog是

日志 ÿ = F （ 日志 X ）

$\log y = f(\log x)$ 的

二阶泰勒开发，在任意点

附近的

\log x

$\log x$ ：

x_{0} \neq 0

$x_0 \ne 0$

日志 ÿ = F （ 日志 X_{0} ） + \frac{\partial F}{\partial 日志 X^{Ť}} （ 日志 X_{0} ） \cdot （ 日志 X - 日志 X_{0} ） + \frac{1}{2} （ 日志 X - 日志 X_{0} ）^{Ť} \frac{\partial^{2} F}{\partial 日志 X 日志 X^{Ť}} （ 日志 X_{0} ） \cdot （ 日志 X - 日志 X_{0} ）

$\log y = f(\log x_0) + \frac{\partial f}{\partial \log x^T}(\log x_0)\cdot(\log x-\log x_0) + \frac{1}{2}(\log x-\log x_0)^T\frac{\partial^2 f}{\partial \log x\log x^T}(\log x_0)\cdot(\log x-\log x_0)$

= α_{0} + α_{X}^{Ť} 日志 X + \frac{1}{2} 日志 X^{Ť} 乙 日志 X

$=\alpha_0+\alpha_x^T \log x+\frac{1}{2}\log x^TB\log x$ 其中定义当获得该最后重新参数：

α_{0} = F （ 日志 X_{0} ） - \frac{\partial F}{\partial 日志 X^{Ť}} （ 日志 X_{0} ） \cdot 日志 X_{0} + \frac{1}{2} 日志 X_{0}^{Ť} \frac{\partial^{2} F}{\partial 日志 X 日志 X^{Ť}} （ 日志 X_{0} ） \cdot 日志 X_{0}

$\alpha_0=f(\log x_0) - \frac{\partial f}{\partial \log x^T}(\log x_0)\cdot\log x_0 + \frac{1}{2}\log x_0^T\frac{\partial^2 f}{\partial \log x\log x^T}(\log x_0)\cdot\log x_0$

α_{X} = \frac{\partial F}{\partial 日志 X} （ 日志 X_{0} ） - \frac{\partial^{2} F}{\partial 日志 X 日志 X^{Ť}} （ 日志 X_{0} ） 日志 X_{0}

$\alpha_x=\frac{\partial f}{\partial \log x}(\log x_0) - \frac{\partial^2 f}{\partial \log x\log x^T}(\log x_0)\log x_0$

乙 = \frac{\partial^{2} F}{\partial 日志 X 日志 X^{Ť}} （ 日志 X_{0} ） 。

$B=\frac{\partial^2 f}{\partial \log x\log x^T}(\log x_0).$

— 贝特朗
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这个想法确实是泰勒扩大生产功能。为了证明它，你可以用替代功能的不断弹性，这两个因素的情况下可以写成开始为

\begin{matrix} （1） & ÿ = 一种 [α ķ^{γ} + （ 1 - α ） {大号}^{γ}]^{1 / γ} \end{matrix}

$Y = A[\alpha K^\gamma + (1 - \alpha)L^\gamma]^{1/\gamma} \tag{1}$

$X_1 = K$ $X_2 = L$ $\ln Y$ $\gamma = 0$ $\gamma \approx0).$

$\gamma^0$

\begin{matrix} （2） & \underset{γ \to 0}{LIM} LN ÿ = LN （ 一种 ķ^{α} {大号}^{1 - α} ） \end{matrix}

$\lim_{\gamma \to 0} \ln Y = \ln (A K^\alpha L^{1 - \alpha}) \tag{2}$

$\gamma^1$

\begin{array}{rcl} \underset{γ \to 0}{LIM} \frac{\partial LN ÿ}{\partial γ} & = & \underset{γ \to 0}{LIM} \frac{α ķ^{γ} LN （ 大号 ） + （ 1 - α ） 升^{γ} 日志 （ 大号 ）}{γ （ α ķ^{γ} + （ 1 - α ） {大号}^{γ} ）} - \frac{LN （ α ķ^{γ} + （ 1 - α ） {大号}^{γ} ）}{γ^{2}} \\ （3） & = & \frac{1}{2} （ 1 - α ） α （ LN （ ķ ） - LN （ 大号 ） ）^{2} \end{array}

$\begin{eqnarray} \lim_{\gamma \to 0} \frac{\partial \ln Y}{\partial \gamma} &=& \lim_{\gamma \to 0}\frac{\alpha K^{\gamma } \ln (L)+(1-\alpha ) l^{\gamma } \log (L)}{\gamma \left(\alpha K^{\gamma }+(1-\alpha ) L^{\gamma }\right)}-\frac{\ln \left(\alpha K^{\gamma }+(1-\alpha ) L^{\gamma }\right)}{\gamma ^2}\\ &=& \frac{1}{2} (1 - \alpha) \alpha (\ln (K)-\ln (L))^2 \tag{3} \end{eqnarray}$

然后我们有第一个订单

\begin{array}{rcl} LN ÿ & \approx & （ LN ÿ ）_{γ = 0} + {（ \frac{\partial LN ÿ}{\partial γ} ）}_{γ = 0} γ \\ \overset{（ 2 ） ， （ 3 ）}{=} & LN 一种 + α LN ķ + （ 1 - α ） LN 大号 + \frac{1}{2} α （ 1 - α ） γ [LN ķ - LN 大号]^{2} \\ = & LN 一种 + α LN X_{1} + （ 1 - α ） LN X_{2} + \frac{α γ （ 1 - α ）}{2} [{LN}^{2} X_{1} - 2 LN X_{1} LN X_{2} + {LN}^{2} X_{2}] \\ （3） & = & α_{0} + Σ_{一世 = 1}^{2} α_{一世} LN X_{一世} + \frac{1}{2} Σ_{一世 ， Ĵ = 1}^{2} β_{一世 Ĵ} LN X_{一世} LN X_{Ĵ} \end{array}

$\begin{eqnarray} \ln Y &\approx& \color{blue}{(\ln Y)_{\gamma = 0}} + \color{red}{\left(\frac{\partial \ln Y}{\partial \gamma}\right)_{\gamma = 0} \gamma} \\ &\stackrel{(2),(3)}{=}& \color{blue}{\ln A + \alpha \ln K + (1 - \alpha) \ln L} + \color{red}{\frac{1}{2}\alpha(1 - \alpha)\gamma [\ln K - \ln L]^2} \\ &=& \ln A + \alpha \ln X_1 + (1 - \alpha) \ln X_2 + \frac{\alpha \gamma (1 -\alpha)}{2}\left[\ln^2 X_1 -2\ln X_1\ln X_2 + \ln^2 X_2 \right] \\ &=& \alpha_0 + \sum_{i = 1}^2 \alpha_i \ln X_i + \frac{1}{2}\sum_{i, j = 1}^2 \beta_{ij}\ln X_i \ln X_j \tag{3} \end{eqnarray}$

$n > 2$

LN ÿ = α_{0} + Σ_{一世 = 1}^{ñ} α_{一世} LN X_{一世} + \frac{1}{2} Σ_{一世 ， Ĵ = 1}^{ñ} β_{一世 Ĵ} LN X_{一世} LN X_{Ĵ}

$\ln Y = \alpha_0 + \sum_{i = 1}^n \alpha_i \ln X_i + \frac{1}{2}\sum_{i, j = 1}^n \beta_{ij}\ln X_i \ln X_j$

— caverac
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