如何从CES功能获得Leontief和Cobb-Douglas生产功能？

在大多数微观教科书中提到，该弹性常数的取代（CES）生产函数，

$$Q=\gamma[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{1}{\rho}}$$

（其中替代弹性为$\sigma = \frac 1{1+\rho},\rho > -1$）的极限是Leontief生产函数和Cobb-Douglas函数。特别，

$$\lim_{\rho\to \infty}Q= \gamma \min \left \{K , L\right\}$$

和

$$\lim_{\rho\to 0}Q= \gamma K^aL^{1-a}$$

但是他们从来没有为这些结果提供数学证明。

有人可以提供这些证明吗？

此外，由于外部指数为，因此上述CES函数包含了恒定的比例缩放（度数的同质性）。如果是，则同质度将为。 - ķ / ρ $-1/\rho$$-k/\rho$$k$

如果，限制结果将如何受到影响？$k\neq 1$

我将要提出的证明是基于与CES生产函数具有广义加权均值形式的事实相关的技术。
在最初引入CES功能的论文中使用了此功能，其中Arrow，KJ，Chenery，HB，Minhas，BS，＆Solow，RM（1961）。资本劳动替代与经济效率。《经济与统计评论》，第225-250页。
那里的作者向读者推荐了Hardy，GH，Littlewood，JE和Pólya，G.（1952）这本书。不等式，章。$2$

我们考虑一般情况

$$Q_k=\gamma[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{k}{\rho}},\;\; k>0$$

$$\Rightarrow \gamma^{-1}Q_k = \frac 1{[a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) ]^{\frac{k}{\rho}}}$$

1）当$\rho \rightarrow \infty$ 时的极限由于我们对时的极限感兴趣，我们可以忽略的时间间隔，并将严格地视为正数。 ρ →交通∞ ρ ≤ 0 ρ
$\rho\rightarrow \infty$$\rho \leq0$$\rho$

不失一般性，假设。我们也有。然后我们验证以下不等式成立：ķ ，大号> $K\geq L \Rightarrow (1/K^{\rho})\leq (1/L^{\rho})$$K, L >0$

$$(1-a)^{k/\rho}(1/L^{k})\leq \gamma Q_k^{-1} \leq (1/L^{k})$$

$$\implies (1-a)^{k/\rho}(1/L^{k})\leq [a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) ]^{\frac{k}{\rho}} \leq (1/L^{k}) \tag{1}$$

通过全面提高能力来获得$\rho/k$

（1

$$(1-a)(1/L^{\rho}) \leq a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) \leq (1/L^{\rho}) \tag {2}$$ 很明显，在给定假设的情况下确实成立。然后返回的第一个元素，然后$(1)$

$$\lim_{\rho\rightarrow \infty} (1-a)^{k/\rho}(1/L^{k}) =(1/L^{k})$$

夹着中间术语到，所以（1 / L k$(1)$$(1/L^{k})$

$$\lim_{\rho\rightarrow \infty}Q_k = \frac {\gamma }{1/L^k} = \gamma L^k = {\gamma }\big[\min\{K,L\}\big]^{k} \tag{3}$$

因此，对于我们可以获得基本的Leontief生产函数。$k=1$

2）极限时$\rho \rightarrow 0$
编写函数使用指数作为

$$\gamma^{-1}Q_k=\exp\left\{-\frac k{\rho}\cdot \ln\big[a (K^{\rho})^{-1} +(1-a) (L^{\rho})^{-1}\big]\right\} \tag {4}$$

考虑对数内项相对于一阶Maclaurin展开（Taylor展开以零为中心）：$\rho$

$$a (K^{\rho})^{-1} +(1-a) (L^{\rho})^{-1} \\= a (K^{0})^{-1} +(1-a) (L^{0})^{-1} -a (K^{0})^{-2}K^{0}\rho\ln K- (1-a) (L^{0})^{-2}L^{0}\rho\ln L + O(\rho^2) \\$$

$$=1 - \rho a\ln K - \rho(1-a)\ln L+ O(\rho^2) = 1 +\rho \big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]+ O(\rho^2)$$

将此插入回并去除外部指数，$(4)$

$$\gamma^{-1}Q_k = \left(1 +\rho \big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]+ O(\rho^{2})\right)^{-k/\rho}$$

如果它是不透明的，则定义并重新编写$r\equiv 1/\rho$

$$\gamma^{-1}Q_k = \left(1 +\frac{\big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]}{r}+ O(r^{-2})\right)^{-kr}$$

现在它看起来确实像一个表达式，其无穷大将为我们提供指数级的结果：

$$\lim_{\rho\rightarrow 0}\gamma^{-1}Q_k = \lim_{r\rightarrow \infty}\gamma^{-1}Q_k = \left(\exp\left\{ \ln K^{-a}L^{-(1-a)}\right\} \right)^{-k}$$

$$\Rightarrow \lim_{\rho\rightarrow 0}Q_k =\gamma\left(K^{a}L^{1-a}\right)^k$$

函数的同构度得以保留，如果我们将获得Cobb-Douglas函数。$k$$k=1$

正是最后一个结果使Arrow和Co调用 CES函数的“ distribution”参数。$a$

获得Cobb-Douglas和Leotief的常规方法是L'Hôpital法则。

也应该使用其他方法。设置将返回和 By通过微分的总导数，我们将得到 我们将通过一些运算得到主方程。$\gamma=1$$Q=[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{1}{\rho}}$

$$Q^{-\rho}=[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]$$ $$-\rho Q^{-\rho-1}dQ=- a\rho K^{-\rho-1}dK -(1-a)\rho L^{-\rho-1}dL$$

$$dQ= a {(\frac{Q}{ K})}^{1+\rho}dK +(1-a){(\frac{Q}{ L})}^{1+\rho}dL$$

线性函数：$\lim_{\rho\to -1}{dQ}\Rightarrow Q=aK+(1-a)L$

Cobb-Douglas函数： 从双方获得积分将产生

$$\lim_{\rho\to 0}{dQ}\Rightarrow \frac{1}{Q}dQ= a {(\frac{1}{ K})} dK +(1-a){(\frac{1}{ L})} dL$$

$$\int\frac{1}{Q}dQ= a \int {(\frac{1}{ K})} dK +(1-a)\int{(\frac{1}{ L})} dL$$

$$Q=K^a L^{(1-a)}e^{C}=AK^a L^{(1-a)}$$

Leontief函数：$\lim_{\rho\to \infty}{dQ}\Rightarrow min(aK,(1-a)L)$