当技术增长减少时，Ramsey / Cass-Koopmans（RCK）模型中的有效消耗和资本会发生什么变化？

结论是两者都下降了吗？无论是长跑还是短跑。

设表示的增长率，表示的增长率。在模型中没有折旧，所以，$g_x$$x$$g_c$$\hat c$

$$g_c = \frac 1{\theta}[r - \rho - \theta g_x]$$

$$\dot {\hat k} = f(\hat k) - \hat c - (n+g_x)\hat k$$

在稳定状态下，和增长均为。在这种情况下：$\hat k$$\hat c$$0$

$$\hat c^* = f(\hat k^*) - (n+g_x)\hat k^*$$

因为$r = f'(k)$

$$f'(\hat k^*) = \rho + \theta g_x$$

不知何故，基于这些方程，我得出了相反的结论，即如果减小，那么和将增加而不是减少。$\hat c^*$$\hat k^*$$g_x$

当（外生）技术变革率/效率较小时，相应的稳态消费水平和单位有效劳动力资本增加。

对于资本，我们有

$$f'(\hat k^*) = \rho + \theta g_x \implies \frac {\partial}{\partial g_x}f'(\hat k^*) = \theta >0$$

因此，如果由于资本的边际产量减少。$g_x \downarrow \implies f'(\hat k^*) \downarrow \implies \hat k^* \uparrow$

对于每单位有效劳动力的稳态消费，我们有

$$\hat c^* = f(\hat k^*) - (n+g_x)\hat k^*$$

$$\implies \frac {\partial \hat c^*}{\partial g_x}= f'(\hat k^*) \frac {\partial \hat k^*}{\partial g_x} - \hat k^* - (n+g_x) \frac {\partial \hat k^*}{\partial g_x}$$

$$=[f'(\hat k^*) - n - g_x]\cdot \frac {\partial \hat k^*}{\partial g_x} - \hat k^*$$

括号中的术语假定为正数，即我们已经假设

$$f'(\hat k^*) = \rho + \theta g_x > n + g_x \implies \rho > n + (1-\theta)g_x$$

为了排除无限的效用。

而且，显然总而言之$\frac {\partial \hat k^*}{\partial g_x} <0$

$$\frac {\partial \hat c^*}{\partial g_x} <0$$

因此，如果。$g_x \downarrow \implies \hat c^* \uparrow$

见巴罗和马丁，ch。在第102页，他们讨论了 案例（在第101页中他们讨论了对参数的约束）。$g_x \uparrow$

评论：这个结果可能看似违反直觉，但对模型的深入研究表明，如果较低，则人均效用较低。使用“每单位有效劳动力消费”是一种建模策略，我们感兴趣的是每个人所发生的事情。所以，不，该模型并没有有利于降低生产率/技术的争论。$g_x$