模拟真实的商业周期

基本上，我需要复制Hartley的“解决实际商业周期模型的用户指南”（http://www.econ.ucdavis.edu/faculty/kdsalyer/LECTURES/Ecn235a/Linearization/ugfinal.pdf）。具体来说，我想模拟模型所隐含的动力系统，其指定如下：

在此处输入图片说明

其中是消费，是劳动力供给，是资本，是自回归技术过程，是产出，是投资。 $c$ $h$ $k$ $z$ $y$ $i$

我使用以下逻辑对其进行仿真：假设在时间，一切都处于稳定状态，并且所有值均为0，由此得出。然后，在通过给系统造成冲击，我求解和（因为我有“震惊的”并先前获得，然后插入这两个以检索其余部分，即并重复该过程。 $t$ $k_{t+1}$ $t+1$ $\varepsilon$ $c_{t+1}$ $h_{t+1}$ $z_{t+1}$ $k_{t+1}$ $y_{t+1}, i_{t+1}, k_{t+2}$

不幸的是，我得到了一个没有意义的爆炸性过程：

在此处输入图片说明

我还包括用于模拟此代码的R代码：

n<-300

data.simulated <- data.table(t = 0, zval = 0, cval = 0, hval = 0, kval = 0, yval = 0, ival = 0)
data.simulated <- rbind(data.simulated, data.table(t = 1, kval = 0), fill = TRUE)

for (ii in 1:n){

  ##initial shocks
  eps <- rnorm(1, mean = 0, sd = 0.007)
  zt1 <- data.simulated[t == ii - 1, zval]*0.95 + eps
  kt1 <- data.simulated[t == ii, kval]

  ##solve for ct, ht
  lmat <- matrix(c(1, -0.54, 2.78, 1), byrow = T, ncol = 2)
  rmat <- matrix(c(0.02 * kt1 + 0.44 * zt1, kt1 + 2.78 * zt1), ncol = 1)

  solution <- solve(lmat, rmat)
  ct1 <- solution[1, ]
  ht1 <- solution[2, ]

  ##now solve for yt1 and kt2 and it1
  yt1 <- zt1 + 0.36 * kt1 + 0.64 * ht1
  kt2 <- -0.07 * ct1 + 1.01 * kt1 + 0.06 * ht1 + 0.1 * zt1
  it1 <- 3.92 * yt1 - 2.92 * ct1

  ##add to the data.table the results
  data.simulated[t == ii, c("zval", "cval", "hval", "yval", "ival") := list(zt1, ct1, ht1, yt1, it1)]
  data.simulated <- rbind(data.simulated, data.table(t = ii + 1, kval = kt2), fill = TRUE)
}


a <- data.simulated[, list(t, cval, ival, yval)]
a <- data.table:::melt.data.table(a, id.vars = "t")
ggplot(data = a, aes(x = t, y = value, col = variable)) + geom_line()

我的问题很简单-本文中指定的系统本质上是不稳定的并且会误判结果，还是我在某个地方犯了错误？

— 沙鲁纳斯
source

Answers:

爆炸性

论文中包含一个错误，该错误会导致模拟中爆炸性的动态变化（尽管假定论文中的基础计算是正确的）。从特征值分解得出的平衡条件包含在论文第12页的矩阵的第三行中，其变量按排序（我将丢掉tilda，因此所有小写变量应理解为对数偏差）。与eqn比较。（16）在p。在图13中，我们看到和系数已切换，因此正确的条件是 $Q^{-1}$ $(c,k,h,z)$ $k$ $h$

c_{t} = 0.54 k_{t} + 0.02 h_{t} + 0.44 z_{t}

$c_t = 0.54 k_t + 0.02 h_t + 0.44 z_t$

模拟

首先，我们可以将消耗量和劳动量表示为状态变量的线性函数（无需在仿真的每个步骤中求解系统）。时际和时际平衡条件可以写成

[\begin{matrix} 1 & - 0.02 \\ 2.78 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} c_{t} \\ h_{t} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0.54 & 0.44 \\ 1 & 2.78 \end{matrix}] [\begin{matrix} k_{t} \\ z_{t} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}1 & -0.02 \\ 2.78 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_t \\ h_t\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.54 & 0.44 \\ 1 & 2.78 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_t \\ z_t\end{bmatrix}$

所以在乘以一个逆后，我们得到

[\begin{matrix} c_{t} \\ h_{t} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0.53 & 0.47 \\ - 0.47 & 1.47 \end{matrix}] [\begin{matrix} k_{t} \\ z_{t} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} c_t \\ h_t\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.53 & 0.47 \\ -0.47 & 1.47 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_t \\ z_t\end{bmatrix}$

接下来，状态的转换可以写成

[\begin{matrix} k_{t + 1} \\ z_{t + 1} \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 0.07 & 0.06 \\ 0 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} c_{t} \\ h_{t} \end{matrix}] + [\begin{matrix} 1.01 & 0.1 \\ 0 & 0.95 \end{matrix}] [\begin{matrix} k_{t} \\ z_{t} \end{matrix}] + [\begin{matrix} 0 \\ ϵ_{t + 1} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} k_{t+1} \\ z_{t+1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -0.07 & 0.06 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_t \\ h_t\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1.01 & 0.1 \\ 0 & 0.95 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_t \\ z_t\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ \epsilon_{t+1}\end{bmatrix}$

可以通过将控制变量代入

[\begin{matrix} k_{t + 1} \\ z_{t + 1} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0.94 & 0.16 \\ 0 & 0.95 \end{matrix}] [\begin{matrix} k_{t} \\ z_{t} \end{matrix}] + [\begin{matrix} 0 \\ ϵ_{t + 1} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} k_{t+1} \\ z_{t+1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.94 & 0.16 \\ 0 & 0.95 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_t \\ z_t\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ \epsilon_{t+1}\end{bmatrix}$

现在模拟应该是微不足道的，这是一个Matlab / Octave示例：

T = 200;
X = zeros(2,T);
for i=2:T
    X(:,i) = [0.94 0.16; 0 0.95] * X(:,i-1) + [0; 0.007*randn()];
end
Y = [0.53 0.47; -0.47 1.47] * X;
figure
plot(1:T, [X; Y])
legend('k','z','c','h')

当然，实际上，您可能应该重新计算整个解决方案，包括特征值分解，以便可以更改参数等。

— 伊万斯姆
source

（+1）。也许可以用图表表示产出和投资，这通常也是关注的焦点（并且当投资系列的可变性比产出系列大时，有助于模型的验证）。

— Alecos Papadopoulos

最终新闻2015年3月20日：我已通过电子邮件发送给教授。K. Salyer，《用户指南》的作者之一。在反复交流中，他验证了两个问题（请参阅下面的我的答案以及@ivansml答案）确实存在：

a）消费运动定律的正确方程式如@ivansml所示

$0.007$

通过仿真（并使用正确的标准偏差），我验证了模型A发生爆炸的阶段A，尽管它向上爆炸而不是向下爆炸。本文必须有一个计算上的错误，尽管如此，它还是以某种方式没有“传播”到作者的模拟中。由于该方法是标准方法，因此目前我无法想到其他任何方法。我很感兴趣，因此仍在努力。

$0.007$

$\epsilon_i \sim N(0, \sigma^2 = 0.007), \implies SD = 0.0837$ 在此处输入图片说明

注意垂直轴上的值：它们比作者论文中图1中显示的值范围大得多。

$\epsilon_i \sim N(0, \sigma^2 = 0.00049), \implies SD = 0.007$ 在此处输入图片说明

$0.007$ $0.000049$ $0.007$

我将尝试就这两个问题与作者联系。

— 阿莱科斯·帕帕多普洛斯
source

正如您所指出的，我设法弄清楚该过程实际上是爆炸性的。我确实对方差弄错了，因为sd为0.083，所以这意味着比我最初使用的偏差还要大，并且过程爆炸得更快。我不知道作者是如何模拟（如他所写的）3000个观测值并提供平稳序列的图（在本文末尾），而过程却没有表现出这种特性。

— Sarunas

@Sarunas如下检查您的代码：使用实际生成的冲击手动计算各个过程的前两三个值，并与代码给您的相应值进行比较。

— Alecos Papadopoulos'3

我做到了尝试手动进行。从经验丰富的研究人员那里知道的有用之处在于，为什么资本过程会爆炸性？我们不希望它静止不动吗？否则如何达到稳态？我检查了系统的特征值，正如您之前指出的那样-系统实际上是爆炸性的，因此代码本身没有错。错误出在纸上，或者我不理解逻辑。

— Sarunas 2015年

多谢您的努力。你帮助了我！至少，不是我犯了这个错误（根本上）:)

— Sarunas

1 / β

$1/\beta$

(k_{t}, z_{t})

$(k_t, z_t)$

A, B

$A,B$