如果已知两种法定货币的汇率，那么由什么决定呢？

在这篇博客中，经济学家史蒂夫·兰兹伯格提出了一个关于比特币价值的问题，他不知道答案。

想象一下一个未来，在这种未来中，比特币（或其他一些非政府货币）将以（例如）的汇率被广泛接受并可以轻易地用美元代替。 $X$ 每个比特币美元。

那如果有 $M$ 美元和 $B$ 比特币在流通中，货币供应量（以美元计量）是有效的 $M + X B$ 。

大概是货币需求 $P D$，在哪里 $P$ 是一般价格水平， $D$取决于交易量和社区的付款习惯。（如果有帮助，我们可以写$D = T/V$ 哪里 $T$ 是交易量， $V$ 是金钱的速度。）

货币市场中的均衡要求供给等于需求，因此

$M + X B = P D$

现在 $M$ 由货币当局决定； $B$ 由比特币算法确定，并且 $D$如上所述，是在货币市场之外确定的。

剩下两个变量（$X$ 和 $P$），但只有一个方程式。什么固定了这些变量的值？

正如他在括号中所建议的那样，这不是比特币特有的问题，这是完美替代美元的非政府货币的普遍问题。

有人知道兰兹堡问题的答案吗？是否有任何模型可以说明决定汇率的因素$X$ 和价格水平 $P$ 在这样的情况下？

当还有其他货币可以完美替代美元时，没有任何好的方法来恢复数量理论-因此，从这个意义上说，兰兹堡的问题没有任何答案。的确，在理论上一直很清楚的，完全可替代性下数量理论的不相关性最近已成为现实，因为一旦名义利率为零，储备就可以完全替代其他短期名义资产。

也就是说，我要提出两点。

1.小于完美可替代性的就是拯救数量理论。

假设我们用更通用的形式替换Landsburg数量理论方程式的左侧

$$F(M,XB) = PD$$ 哪里 $F$ 是同质的生产函数，可以使用货币产生汇总的“货币服务” $M$ 和比特币（价值以货币表示） $XB$。

Landsburg的方程式对应于完全替代的情况， $F(M,XB) = M+XB$。实际上，Landsburg的表述还暗含了另一个假设，即$X$ 在一段时间内保持不变，或者 $X$不同，风险调整后的比特币相对于货币的预期回报为零：否则，您将严格地选择持有一个或另一个，因为两者具有同等的交易价值，因此回报率最高。我将继续假设该假设为简单起见-但请记住，在成熟的动态模型中，允许收益差异并且个人在此基础上进行替代可能会内生出Landsburg寻求的额外方程式。

如果货币和比特币的收益相同，那么持有货币和比特币的任何人都希望将两者的边际交易价值等同， $F_M=F_{XB}$。这适用于任何相对数量的$M$ 和 $XB$ 以兰德斯堡（Landsburg）的完美替代品公式制定，这就是他努力奋斗的原因，但对于一般（同质） $F$ 它只会保持一个比例 $M/XB$在两个中。这将降低相对需求。

例如，如果 $F$ 是科布-道格拉斯， $F(M,XB) = M^\alpha (XB)^{1-\alpha}$， 然后 $F_M = \alpha F/M$ 和 $F_{XB} = (1-\alpha)F/XB$，而将两者相等就给了我们 $M/XB = \alpha/(1-\alpha)$。假设$\alpha=1/3$。那我们有$XB = 2M$，而且解决起来很简单 $P$ 从 $M$ 和 $D$：

$$F(M,XB)=PD\Longleftrightarrow M^{1/3} (2M)^{2/3} = PD\Longleftrightarrow P = 2^{2/3}\frac{M}{D}$$ Cobb-Douglas只是我用于说明目的的一个参数化设置，但只要 $F$ 之间的边际替代率下降 $M$ 和 $XB$ -例如，如果 $M$ 和 $XB$是几乎完美的替代品，但并不完全。从这个意义上讲，Landsburg的完美替代品是非通用的：法定货币和比特币绝对不可能在所有应用中都是完美替代品。

顺便说一句，两种货币无法完美替代的方式相结合以提供整体货币服务的想法不仅是我所构想的，还可以在文献中的许多地方看到这样的假设，例如等式（3 ）（爱尔兰）（2011年）。

2.即使没有数量理论，中央银行也可以通过其他方式降低价格水平。

现代的货币政策观点认为，真正重要的是中央银行设定短期利率的能力。传统上，这是通过公开市场操作来改变货币供应量来完成的，但并不一定要如此。确实，伍德福德的规范性文本显示了即使在没有货币需求的“无现金”世界中，也有可能实施货币政策：中央银行只需支付货币利息。（顺便说一句，当您尝试通过写下一个动态的，内部一致的模型来微观发现“数量论”方程时，很难逃脱这个结果：您意识到数量论通过利率对货币的响应而在一般均衡下运行。 ，

的确，我们一直都在向伍德福德的假设世界靠拢：例如，美联储在未来几个月决定加息时的一种选择是提高储备利率，同时保持完整的扩展资产负债表。

从这个角度来看，兰兹堡的观察并不十分相关。中央银行致力于价格稳定，它将通过调整利率以应对通货膨胀与趋势的偏差来实现这一目标。是否可以通过传统的调整方法来调整利率$M$通过公开市场操作，很棒。但是如果它不能做到这一点（因为我们生活在兰斯堡的完美替代世界中），那么中央银行将只是通过改变其支付储备的利息来调整名义利率，并最终完成完全相同的事情。

我的猜测是 $\Delta B$，给定年份在经济中引入的比特币数量（您可以从比特币的价值和比特币算法的特征中获得）和 $\Delta S$ （与美元相同，应该由美联储提供）应验证 $B/S = \Delta B / \Delta S$，否则人们会决定将流动性保持在宽松程度较低的货币中，以避免贬值。

剩下两个变量（$X$ 和 $P$），但只有一个方程式。什么固定了这些变量的值？

如果像Landsburg的情景要求我们想象的那样，如果比特币被接受为也接受美元的所有交易的支付媒介（总是代表一个国民经济），那么，一定是比特币享有与美元完全相同的信誉的情况。如果是这样，那么他们的汇率就只能是统一。

如果我在接受比特币和美元方面同样感到安全（就可以使用比特币安全而言），为什么我应该接受不同于统一的汇率？当我要求汇率不同于统一汇率时，这意味着这两种货币的风险状况不再被视为相同（从广义上讲，考虑所有因素，风险状况）

那么，一切都与期望有关，这就是我们未来对这两种货币的预测。

反过来，这需要建模：美元的信誉依赖于哪些基础，比特币的信誉依赖于哪些基础，以及这些基础的“我们所想”。最终将提供“丢失的方程式”。