给定两个工厂的Cobb-Douglas生产功能（所有者相同），所有者将如何生产

所以我的问题是：一家公司拥有两个工厂A和B，每个工厂都具有以下生产功能：

$f_A(x_1,x_2)=x_1^{\alpha}x_2^{1-\alpha}$

$f_B(x_1,x_2)=x_1^{\beta}x_2^{1-\beta}$

现在假设，和（输入市场上的价格），如何将公司选择生产？ $\alpha=1/2$ $\beta=3/4$ $w_1=w_2=1$ $y$

我已经为以下需求函数解决了两个生产函数：

与 $\textbf{x}_A(\textbf{w},y)=\left(yr_1^{\alpha},yr_1^{\alpha-1}\right)$ $r_1=\dfrac{w_1(1-\alpha)}{w_2\alpha}$

与 $\textbf{x}_B(\textbf{w},y)=\left(yr_2^{\beta},yr_2^{\beta-1}\right)$ $r_2=\dfrac{w_1(1-\beta)}{w_2\beta}$

支出功能：

$c_A(\textbf{w},y)=w_1yr_1^{\alpha}+w_2yr_1^{\alpha-1}$

$c_B(\textbf{w},y)=w_1yr_2^{\beta}+w_2yr_2^{\beta-1}$

$y$

任何帮助将非常感激！

谢谢。

microeconomics production-function cobb-douglas producer-theory

— 菲利普·布雷达尔（Phillip Bredahl）
source

x_{1}

$x_1$

w_{1}

$w_1$

r_{1}

$r_1$

\frac{1}{r_{1}}

$\frac{1}{r_1}$

\frac{1}{r_{1}}

$\dfrac{1}{r_1}$

尽可能尝试使用您的直觉。由于每种投入类型的报酬都是相同的，而与使用哪个工厂无关，因此请考虑是否使一个工厂的一项投入的边际生产率大于另一工厂的最优，以及这对于调整投入意味着什么？在每个工厂。如果对您不起作用，请考虑将该问题设置为成本最小化问题。

— 海森