扩增效应：负分母

设为贴现率，某选项值，一些基本值。 $0 < \rho < 1$ $V$ $F$

ρ V = β V + F

$\rho V = \beta V + F$

您可以访问一些选项值，它将始终为您提供一些基本流量值，并且您可以访问初始选项值的另一个（初始值/索赔的某种放大）。我们得到了解决期权价值的问题 $V$ $F$ $\beta$

V = \frac{F}{ρ - β}

$V = \frac{F}{\rho - \beta}$

现在，这可能只是让我感到困惑，但通常在这里我们只检查是不是完全为零。 $\rho - \beta$

对于，我们有是价值比原来更加。我怎样才能理解？即使对于零和一之间的和，这些都是非常可能的。在这种情况下，分母变为负值，选项值为负。怎么了？ $\rho > \beta$ $V$ $F$ $\rho < \beta$ $\beta$ $\rho$ $V$

扩展示例

根据流行的请求，这里是模型的更通用版本（仍然是抽象，但希望这提供了足够的上下文。

认为大约为空位的值，在一个搜索和匹配上下文。鉴于市场紧张度，您将找到速率为的匹配。职位空缺与流动成本有关。 $V$ $\theta$ $q(\theta)$ $c$

现在，一旦你与失业工人相匹配，你可以决定接受那场比赛（，或拒绝他（）。事实上，整个线是允许的，了解它作为混合策略。事实上，考虑到空缺具有代表性，混合策略可以理解为人口份额。 $\beta = 1)$ $\beta = 0$ $\beta \in [0, 1]$

因此，给定策略，空缺的值由下式给出 $\beta$

ρ V （ β ） = - C + q （ θ ） [β （ V （ β ） - Ĵ ） + （ 1 - β ） Ĵ] \Leftrightarrow V （ β ） = \frac{- C + q （ θ ） （ 1 - 2 β ） Ĵ}{ρ - q （ θ ） β}

$\rho V(\beta) = -c + q(\theta)[ \beta(V(\beta)-J) + (1-\beta)J]\\ \Leftrightarrow V(\beta) = \frac{-c + q(\theta)(1-2\beta)J}{\rho - q(\theta)\beta}$

请注意，设置几乎恢复初始方程。 $F\equiv - c+ q(\theta)(1-2\beta)J$

现在，我尝试使用网格来解决这个问题（或者说更复杂的设置）。但有时候，解是由给出的，因为分母是负的（和小的），而分子也是小的。我试着把头包裹起来，但我无法直观地理解这甚至意味着什么。 $\beta$ $\beta$

请注意，虽然目前的答案在为我解决模型方面有很长的路要走，但实际上并没有回答我的问题 - 关于否定分母的含义。因此，在目前的状态下，我不会奖励那笔赏金并邀请更多答案。

labor-economics search-and-matching

— FooBar的
source

@denesp它最初来自一个Labor-Macro模型，但具体细节并不相关，所以我尽量保持它的一般性。

是匹配的值，

是空位的值（搜索）。比赛结束后，您可以选择放弃比赛并继续搜索，这就是

出现在右侧的原因。我认为这无关紧要，但如果您认为重要，我可以再次添加。

F

$F$

V

$V$

V

$V$

— FooBar 2015年

在某些情况下，我有兴趣看到它来自的论文。

— 沮丧的科学2015年

@FooBar您在评论中写道“在比赛结束后，您可以选择放弃比赛并继续搜索......”。这似乎意味着，你不能有两个

和

，它是一个“无论是一个或另一个”的局面。所以我不知道如何在右侧添加它们。更多背景？

β V

$\beta V$

F

$F$

— Alecos Papadopoulos 2015年

@AlecosPapadopoulos让

表明你选择放弃它。然后，你必须

。在的问题，我已经删除了

项和重新缩放

为了简单起见。

β

$\beta$

ρ V = β (V - F) + (1 - β) F = β V + (1 - 2 β) F

$\rho V = \beta(V-F) + (1-\beta)F = \beta V + (1-2\beta)F$

(1 - 2 β)

$(1-2\beta)$

F

$F$

— FooBar 2015年

@FooBar。现在我更加困惑。你解释它在注释点朝向方式

是一个指示器功能，

的二进制变量（选择放弃/不放弃）。在问题

有不同的描述。

β

$\beta$

0 / 1

$0/1$

β

$\beta$

— Alecos Papadopoulos 2015年

似乎是一个决策变量，在公司层面。然后在某些标准下最佳地确定其值。那么什么是标准，什么是应该优化值的目标函数？ $\beta$ $\beta$

似乎我们应该最大化期权 $V(\beta)$

V （ β ） = \frac{- C + q （ θ ） （ 1 - 2 β ） Ĵ}{ρ - q （ θ ） β}

$V(\beta) = \frac{-c + q(\theta)(1-2\beta)J}{\rho - q(\theta)\beta}$

一阶导数是（我将免除） $\theta$

\frac{\partial V （ β ）}{\partial β} = \frac{- 2 q Ĵ \cdot [ρ - q β] + q \cdot [- C + q （ 1 - 2 β ） Ĵ]}{[ρ - q β]^{2}}

$\frac {\partial V(\beta)}{\partial \beta} = \frac{-2qJ\cdot[\rho - q\beta]+q\cdot[-c + q(1-2\beta)J]}{[\rho - q\beta]^2}$

⟹ \frac{\partial V （ β ）}{\partial β} = \frac{- 2 q Ĵ ρ - C q + q^{2} Ĵ}{[ρ - q β]^{2}} = \frac{q}{[ρ - q β]^{2}} \cdot （ - 2 Ĵ ρ - C + q Ĵ ）

$\implies \frac {\partial V(\beta)}{\partial \beta} = \frac{-2qJ\rho -cq + q^2J}{[\rho - q\beta]^2} = \frac{q}{[\rho - q\beta]^2}\cdot (-2J\rho -c + qJ)$

\begin{matrix} （1） & ⟹ 小号 一世 G ñ \frac{\partial V （ β ）}{\partial β} = 小号 一世 G ñ {（ q - 2 ρ ） Ĵ - C} \end{matrix}

$\implies {\rm sign}\frac {\partial V(\beta)}{\partial \beta} = {\rm sign}\big\{(q-2\rho)J-c\big\} \tag {1}$

因此在是单调的。因此，根据所取的值，将设定为或是最佳的。 $V(\beta)$ $\beta$ $J,\rho, c, q$ $\beta$ $0$ $1$

现在假定。这要求 $\partial V(\beta)/\partial \beta >0$

\begin{matrix} （2） & （ q - 2 ρ ） Ĵ - C > 0 ⟹ q > \frac{C}{Ĵ} + 2 ρ ⟹ q > ρ \end{matrix}

$(q-2\rho)J-c > 0 \implies q > \frac {c}{J} + 2\rho \implies q > \rho \tag {2}$

那么和 $\beta^* =1$

V^{*} |_{β = 1} = \frac{- C - q Ĵ}{ρ - q} = \frac{C + q Ĵ}{q - ρ} > 0

$V^*|_{\beta =1} = \frac{-c - qJ}{\rho - q} = \frac{c + qJ}{q-\rho } > 0$

给出。 $(2)$

反过来，假定。这要求 $\partial V(\beta)/\partial \beta <0$

\begin{matrix} （3） & （ q - 2 ρ ） Ĵ - C < 0 ⟹ q < \frac{C}{Ĵ} + 2 ρ \end{matrix}

$(q-2\rho)J-c < 0 \implies q < \frac {c}{J} + 2\rho \tag {3}$

那么和 $\beta^* =0$

V^{*} |_{β = 0} = \frac{- C + q Ĵ}{ρ}

$V^*|_{\beta =0} = \frac{-c + qJ}{\rho}$

有我们需要 $V^*|_{\beta =0} >0$

\begin{matrix} （4） & \frac{C}{Ĵ} < q < \frac{C}{Ĵ} + 2 ρ \end{matrix}

$\frac {c}{J} < q < \frac {c}{J} + 2\rho \tag {4}$

也尊重。所以这里强加了对参数的必要限制，以便获得的正值。 $(3)$ $V$

结合，如果我们施加限制

q > ρ ， q > C / Ĵ

$q > \rho, \;\;\; q > c/J$

$\beta =1$ $\beta =0$ $V>0$ $V$

— Alecos Papadopoulos
source

c / q < J

$c/q < J$

q

$q$

θ

$\theta$

@FooBar这似乎是模型变得不适合有用地描述研究中的现实世界现象的一个例子。在有目的的，优化公司部分的行为的背景下，我看不出具有负值的空缺的任何意义。

— Alecos Papadopoulos 2015年