期望效用理论中的连续性公理

采用以下连续性定义。

偏好关系 $\succsim$在彩票的空间上 是连续的，如果对于任何，集合S_1 = \ {\ alpha \ in [0,1]：\ alpha L +（1- \ alpha）L'\ succsim L''\}和 S_2 = \ {\ alpha \ in [0,1]：L''\ succsim \ alpha L +（1- \ alphaLL'\}都关闭。$\mathcal L$$L,L',L''\in\mathcal L$

$$S_1=\{\alpha\in[0,1]:\alpha L+(1-\alpha)L'\succsim L''\}$$ $$S_2=\{\alpha\in[0,1]:L''\succsim \alpha L+(1-\alpha)L'\}$$

S_1 \ cup S_2 = [0,1]是否一定正确$S_1\cup S_2=[0,1]$？如果是这样，为什么？

它是。
在作为偏好关系的属性的连续性之前，偏好关系本身已被定义为以可传递性为特征的二元关系，并且首先以完整性为特征。 然后，如果，这意味着存在的一些值某处，称它们为其 $\succsim$
$S_1\cup S_2 \neq [0,1]$$\alpha$$[0,1]$$\tilde \alpha$

都不

$$\{\tilde \alpha L+(1-\tilde \alpha)L'\succsim L''\}$$

也不

$$\{L''\succsim \tilde \alpha L+(1-\tilde \alpha)L'\}$$

在的话，对于这些年代，对不能进行排序在所有。但这与甚至获得偏好关系所需的完整性基础相矛盾（当然，这在我们的理论中也是如此。我猜心理学家会不同意）。$\tilde \alpha$

另外，请注意，即使在特定情况下，我们选择将彩票的空间限制在较小的范围内，也会在所有可能的货币对中定义完整性。所考虑的彩票是否属于指定的彩票空间，确实无关紧要。有偏好的人在任何情况下都必须能够订购它们，即使是“假设”的情况（尽管严格来说，对于一个特定的问题，我们只有在可获得的彩票方面拥有“奢侈”的完整性，而“如果我们扩大彩票空间，则与完整性无关。”这种对完整性公理施加的“弱化”并没有真正带来任何收益）。