基于消耗的资产定价中的对数正态假设

考虑使用CRRA实用程序的一个非常基本的离散时间代表消费者最大化问题。存在具有时间价格的风险资产，其支付时间股息，以及具有价格的无风险资产，其在处支付恒定的收益。我们假设股息是遵循马尔可夫过程的一系列随机变量。进一步假设消费者没有其他收入流（即）。在时间t，消费者在风险资产中投资金额在无风险资产中投资金额。因此，最大化问题可以表示为 $t$ $p_t$ $t+1$ $d_{t+1}$ $p_t^f$ $t+1$ $y_t = 0 \ \forall t$ $\pi_t$ $\pi_t^0$

\begin{aligned} max_{{c_{t}, π}_{0}^{\infty}} E_{0} \sum_{t = 0}^{\infty} β^{t} \frac{c_{t}^{1 - γ} - 1}{1 - γ} \\ s . t & c_{t} + π_{t} p_{t} + π_{t}^{0} p_{t}^{0} = (d_{t} + p_{t}) π_{t - 1} + π_{t - 1}^{0} \\ c_{t} \geq 0 \end{aligned}

$\begin{align*} & \underset{\{ c_t, \pi \}_0^\infty}{\text{max}} \ \ E_0 \sum_{t=0}^\infty \ \beta^t \ \frac{c_t^{1-\gamma} -1}{1-\gamma} \\ \\ \ s.t \ \ \ \ & c_t + \pi_t p_t + \pi_t^0 p_t^0 = (d_t+p_t) \pi_{t-1} + \pi_{t-1}^0 \\ & c_t \geq 0 \end{align*}$

假设我们要找到平衡的无风险利率和预期权益溢价。为了关闭模型，通常假设（例如参见克劳斯·蒙克的《金融资产定价理论》第8.3章），对数消费增长和对数风险总收益共同呈正态分布。即

\begin{aligned} l n (\frac{c_{t + 1}}{c_{t}}) \equiv {\bar{g}}_{t + 1} \sim N (μ_{g}, σ_{g}^{2}) \\ l n R_{t + 1} \equiv {\bar{r}}_{t + 1} \sim N (μ_{r}, σ_{r}^{2}), \end{aligned}

$\begin{align*} & ln \ \Big(\dfrac{c_{t+1}}{c_t} \Big) \equiv \bar{g}_{t+1} \sim N(\mu_g, \sigma_g^2) \\ & ln R_{t+1} \equiv \bar{r}_{t+1} \sim N(\mu_r, \sigma_r^2) \ , \\ \end{align*}$

其中总收益定义为

R_{t + 1} \equiv \frac{p_{t + 1} + d_{t + 1}}{p_{t}} .

$R_{t+1} \equiv \frac{p_{t+1} + d_{t+1}}{p_t} \ .$

我不完全了解对数正态分布假设从何而来。我知道，由于这是典型的代理经济体，因此代理人的消费必须等于经济体中的总股利。但是由于我们假设没有收入，，所以经济中唯一的外生股利过程是，因此它应该与消费增长具有相同的分布。但是，我的印象是，当我们说风险利率具有对数正态分布时，这实际上意味着股息过程，因为它是收益定义中的“随机部分”（价格 $y_t = 0 \ \forall t$ $d_t$ $p_{t+1}$ 不是外生的，而是在模型内部确定的）。在我看来，现在我们对于相同的捐赠过程做出了两种不同的假设。消费假设来自何处或代表什么？如果消费者的收入流，情况将如何改变？ $d_t$ $y_t > 0$

macroeconomics consumer-theory asset-pricing

— vvv
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Answers:

典型的两期拉格朗日为

Λ = β^{t} \cdot (\frac{c_{t}^{1 - γ} - 1}{1 - γ} + λ_{t} \cdot [(d_{t} + p_{t}) π_{t - 1} + π_{t - 1}^{0} - c_{t} - π_{t} p_{t} - π_{t}^{0} p_{t}^{0}]) + β^{t + 1} \cdot (\frac{c_{t + 1}^{1 - γ} - 1}{1 - γ} + λ_{t + 1} \cdot [(d_{t + 1} + p_{t + 1}) π_{t} + π_{t}^{0} - c_{t + 1} - π_{t + 1} p_{t + 1} - π_{t + 1}^{0} p_{t + 1}^{0}])

$\Lambda = \beta^t\cdot \Big(\frac{c_t^{1-\gamma} -1}{1-\gamma} + \lambda_t\cdot \big[(d_t+p_t) \pi_{t-1} + \pi_{t-1}^0- c_t - \pi_t p_t - \pi_t^0 p_t^0\big]\Big) \\ + \beta^{t+1}\cdot \Big(\frac{c_{t+1}^{1-\gamma} -1}{1-\gamma} + \lambda_{t+1}\cdot \big[(d_{t+1}+p_{t+1}) \pi_{t} + \pi_{t}^0- c_{t+1} - \pi_{t+1} p_{t+1} - \pi_{t+1}^0 p_{t+1}^0\big]\Big)$

关于的一阶条件为 $c_t, \pi_t$

\begin{matrix} (1) & c_{t}^{- γ} = λ_{t} ⟹ . . . γ \ln \frac{c_{t + 1}}{c_{t}} = \ln \frac{λ_{t}}{λ_{t + 1}} \end{matrix}

$c_t^{-\gamma} = \lambda_t \implies ... \gamma\ln \frac {c_{t+1}}{c_t} = \ln \frac {\lambda_{t}}{\lambda_{t+1}} \tag{1}$

\begin{matrix} (2) & - β^{t} λ_{t} p_{t} + β^{t + 1} λ_{t + 1} (d_{t + 1} + p_{t + 1}) = 0 ⟹ \frac{λ_{t}}{λ_{t + 1}} = β \frac{p_{t + 1} + d_{t + 1}}{p_{t}} \end{matrix}

$-\beta^t\lambda_tp_t + \beta^{t+1}\lambda_{t+1}(d_{t+1}+p_{t+1})=0 \implies \frac {\lambda_{t}}{\lambda_{t+1}} = \beta \frac{p_{t+1} + d_{t+1}}{p_t} \tag{2}$

因此，也使用总收益的定义，

\begin{matrix} (3) & \ln \frac{λ_{t}}{λ_{t + 1}} = \ln β + \ln R_{t + 1} \end{matrix}

$\ln \frac {\lambda_{t}}{\lambda_{t+1}} = \ln \beta + \ln R_{t+1} \tag{3}$

结合和我们得到 $(1)$ $(3)$

\begin{matrix} (4) & \ln \frac{c_{t + 1}}{c_{t}} = \frac{1}{γ} \ln β + \frac{1}{γ} \ln R_{t + 1} \end{matrix}

$\ln \frac {c_{t+1}}{c_t} = \frac 1 {\gamma}\ln \beta + \frac 1 {\gamma}\ln R_{t+1} \tag{4}$

因此，我们看到，在最佳路径上，消费增长是对数风险回报的直接仿射函数。除其他外，这意味着它们的相关系数等于1。

正态分布在仿射变换下（或者在缩放和移位下）是封闭的，因此，如果我们假设对数风险回报是正态分布的，那么消费增长也是正态分布的（当然具有不同的均值和方差）。

请注意，尽管通常来说，当两个正常随机变量不是独立的时，联合正态性假设是一个附加的假设，这里，一个是另一个的仿射函数这一事实保证了联合正态性。根据双变量正态性的克莱默条件，必须是两个正态随机变量的所有线性组合都具有单变量正态分布的情况。在我们的例子中，我们有（通用符号）随机变量和随机变量。考虑 $Y$ $X = a+bY$

δ_{1} X + δ_{2} Y = δ_{1} (a + b Y) + δ_{2} Y = δ_{1} a + (δ_{1} b + δ_{2}) Y

$\delta_1X + \delta_2 Y = \delta_1(a+bY) + \delta_2 Y = \delta_1a + (\delta_1b+\delta_2)Y$

因此，对于任何（除了先验排除的零向量），如果这样做，则遵循正态分布。因此，足以假设对数风险回报遵循正态分布也可以获得联合正态性。 $(\delta_1, \delta_2)$ $\delta_1X + \delta_2 Y$ $Y$

— 阿莱科斯·帕帕多普洛斯
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这是一个旧答案，但是如前所述，这个答案是错误的。在存在随机元素的情况下使用拉格朗日乘数时，必须小心。如果正确进行计算，最终只会得到标准资产定价方程在计算中，您会失去期望，因为您对优化不谨慎。（另一种说法是，优化问题应具有约束而不是约束，其中是期间内可能的自然状态数。）

E (m R) = 1

$\mathbb E(mR) = 1$

s + 1

$s+1$

2

$2$

s

$s$

t + 1

$t+1$

— 落

@Starfall感谢您的输入。不论年代长短与否，必须纠正错误的内容。我将再次检查答案，看看我能做什么。乍一看，我认为您的意思是乘数与项之间的协方差已被忽略。

t + 1

$t+1$

p_{t + 1}, d_{t + 1}

$p_{t+1}, d_{t+1}$

— Alecos Papadopoulos

不仅仅是协方差被忽略了-如果那是唯一的问题，那么您最终将得到，它仅将折现因子的期望值与预期收益，而您的答案最终以，折现因子与收益之间的事后关系在每种自然状态下均适用。问题很简单，您不能在没有明确说明问题中不同自然状态的情况下将Lagrange乘数与随机变量一起使用。

E (m) E (R) = 1

$\mathbb E(m) \mathbb E(R) = 1$

m R = 1

$mR = 1$

— 落

在情况下的术语是不清楚的，，在此问题。

R = (p_{t + 1} + d_{t + 1}) / p_{t}

$R = (p_{t+1} + d_{t+1})/p_t$

m = β (c_{t + 1} / c_{t})^{- γ}

$m = \beta (c_{t+1} / c_t)^{-\gamma}$

— 落

@Starfall嗯...这里的问题是实际遵循的分布，而不是事前的解决方案...我会仔细考虑并在以后进行阐述。

— Alecos Papadopoulos

我最近写了一篇论文，推导所有资产和负债类别的收益分配。对数正态返回仅在两种情况下出现。第一种是单期折扣债券，第二种是现金换股票合并。我认为这是来自Boness最初的假设，即消除了Markowitz中无限负价格的问题。尽管它是从逻辑上推导的，但它有一个关键的假设，使它通常不正确。

大多数财务模型都假设参数的概率为1。您无需使用估算，因为假定它是已知的。从表面上看，这不是问题，因为这是基于虚无假设的方法的一般方法。您断言null为true，因此参数是已知的，并针对此null进行测试。 $\mu$ $\bar{x}$

当参数未知时会发生困难。事实证明，如果没有这种假设，证明通常会崩溃。布莱克-斯科尔斯也是如此。我将在今年春季的SWFA会议上发表论文，我认为如果Black-Scholes公式的假设从字面上是正确的，那么就不会存在一个收敛于总体参数的估计量。每个人都只是假设在完全了解的情况下公式等于参数估计量。没有人真正检查过它的属性。Black和Scholes在其最初的论文中对他们的公式进行了经验测试，他们报告说该公式无效。一旦放弃了已知参数的假设，数学结果就会不同。差异很大，无法以相同的方式思考。

让我们考虑一下纽约证券交易所交易股票证券的情况。它是在两次拍卖中交易的，因此不会获得赢家的诅咒。因此，合理的行为是创建一个价格等于的限价单。买卖双方有很多，所以限额书应该是静态正常的，或者至少随着买卖双方的数量达到无穷大而变成极限。因此，关于均衡价格是静态法线。 $\mathbb{E}(p_t),\forall{t}$ $p_t$ $p_t^*$

当然，我们忽略了。如果忽略拆分和股利，则它要么继续存在，要么不存在。因此，您必须为股票换股票收益，现金换股票收益和破产创建混合分布。为了简单起见，我们将忽略这些情况，尽管这样做会排除解决期权定价模型的能力。 $(q_t,q_{t+1})$

因此，如果我们将自己限制为并假设所有分红都没有，那么我们的回报将是关于均衡的两个法线之比。我将股息排除在外是因为它们会造成混乱，而我将诸如2008年金融危机之类的情况排除在外是因为您得到的怪异结果会一页又一页地消耗掉文本。 $r_t=\frac{p_{t+1}}{p_t}$

现在，如果我们将数据从为并定义我们可以很容易地看到分布。根据众所周知的定理，在没有负债限制或跨期预算约束的情况下，收益的密度必须是柯西分布，既没有均值也没有方差。当您将所有内容转换回价格空间时，密度变为 $(p_t^*,p_{t+1}^*)$ $(0,0)$ $\mu=\frac{p_{t+1}^*}{p_t^*}$

\frac{1}{π} \frac{σ}{σ^{2} + (r_{t} - μ)^{2}} .

$\frac{1}{\pi}\frac{\sigma}{\sigma^2+(r_t-\mu)^2}.$

由于没有平均值，因此您无法期望值，无法进行F检验或F检验，也无法使用任何形式的最小二乘法。当然，如果是古董，情况会有所不同。

如果它是拍卖会上的古董，那就会赢得赢家的诅咒。高出价者中标，高出价的极限密度是Gumbel分布。因此，您将解决相同的问题，但要解决两个Gumbel分布而不是两个正态分布的比率。

问题实际上并非如此简单。责任限制将所有基础分配都截断了。跨期预算约束使所有基础分配偏斜。如上所述，股息的分配，现金的合并，股票或财产的合并，破产和柯西分配的截断是不同的。混合存在的股票证券有六种分布。

具有不同规则和存在状态的不同市场会产生不同的分布。古董花瓶的情况下会掉落并摔碎。它还具有磨损或内在质量发生其他变化的情况。最后，还有一种情况是，如果足够多的相似花瓶被破坏，位置中心就会移动。

最后，由于截断和参数缺乏足够的统计量，因此不存在可计算且可容许的非贝叶斯估计量。

您可以在http://mathworld.wolfram.com/NormalRatioDistribution.html上找到两个正态变量之比的推导和解释。

您还可以在以下位置找到有关该主题的第一篇论文

Curtiss，JH（1941）关于两个机会变量的商的分布。数学统计年鉴，第12卷，第409-421页。

在以下位置还有后续文件

Gurland，J.（1948）比率分布的反演公式。数理统计年鉴，19，228-237

对于似然法和惯常法的自回归形式

White，JS（1958）在爆炸情况下串行相关系数的极限分布。数学统计年鉴，1188年1197年，1197年，

并由Rao在

Rao，MM（1961）爆炸性随机差分方程中参数估计量的一致性和极限分布。数理统计年鉴，32，195-218

如果真正参数未知，我的论文将采用这四篇以及其他论文，例如Koopman的论文和Jaynes的论文，来构造分布。它观察到上述白皮书具有贝叶斯解，即使没有非贝叶斯解，也允许贝叶斯解。

请注意具有有限的均值和方差，但没有协方差结构。该分布是双曲正割分布。这也是统计中众所周知的结果。由于破产，合并和股息等附带情况，它实际上并不是双曲线正割分布。存在的情况是可加的，但对数表示乘法误差。 $\log(R)$

您可以在以下位置找到有关双曲正割分布的文章

Ding，P.（2014）双曲正割分布的三种情况。美国统计学家，68，32-35

我的文章在

哈里斯·D。（2017）收益分配。数学金融学报，第7卷，第769-804页

在阅读我的文章之前，您应该先阅读以上四篇论文。同时阅读ET Jaynes的书也不会受到伤害。不幸的是，这是一个辩论性的工作，但它仍然很严格。他的书是：

Jaynes，ET（2003）《概率论：科学语言》。剑桥大学出版社，剑桥，205-207

— 戴夫·哈里斯（Dave Harris）
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