决策理论问题：p的确定性等价性的存在性和唯一性

设$ X =（x _ *，x ^ *）$是实线中的区间，并用$ \ Delta（X）$表示$ X $上的简单概率分布集。考虑$ \ Delta（X）$上的偏好关系$ \ succcurlyeq $，它满足预期效用理论的公理。如果$ \ succcurlyeq $显示关于一阶随机优势和风险规避的单调性，那么对于所有$ p \ in \ Delta（X）$，$ p $的确定性等价物存在并且是唯一的。

证明草图：

1）我们定义相当于彩票的确定性$ p $：$ CE_p \ sim \ int_ {X} u（x）p（x）dx $

2）我们知道如果$ p $ FOSD $ q $那么$ p \ succcurlyeq q $

3）由于风险规避：$ \ int_ {X} u（x）p（x）dx \ leq u（\ int_ {X} xp（x）dx）= u（p）$

4）我们想要表明$ \存在$ a lot，称之为$ s $，这样$ CE_p \ sim s $;在这方面（从3以上）我们知道$ p \ succcurlyeq s $;然后我们选择一个特定的彩票$ q $，以便$ p \ succcurlyeq q $

5）因为假设$ \ succcurlyeq $ on $ \ Delta（X）$满足期望效用定理的公理（特别是连续性），所以存在一个唯一的$ \ alpha $，使得$ \ alpha p +（1- \ alpha） q \ sim s $（见MWG第177页）。因此，我们证明$ \存在$ $复合彩票$ s $，相当于彩票$ p $的确定性。

问题：我是否遗漏了证明中的任何细节？

你的符号有点误导：为$ p $而不是$ u（p）$的预期效用写$ \ mathbb {E} u（p）$或$ U（p）$会更好，和$ u（\ mathbb {E} p）$为$ p $的预期值的效用。正式$ $ $定义在$ X $而不是$ \ Delta（X）$。

关于你的证据，在我看来：$（i）$你不解释如何找到$ s $; $（ii）$你找不到确定的等价物，因为$ s $是彩票。你想要找到的是肯定的金钱奖，即a 退化 彩票，决策者同样重视彩票$ p $。

例如，您可以注意到，通过$ u $的单调性， \开始{}方程 u（x _ {*}）\ leq \ int_ {X} {u（x）p（x）dx} \ leq u（x ^ {*}） \ {端方程}

另外，函数$ u：x \ rightarrow u（x）$是连续的。因此，通过中间值定理，在[x _ {*}，x ^ {*}] $中存在$ CE_p \，使得$ u（CE_p）= \ int_ {X} {u（x）p（x）dx } $。

对于唯一性，假设$ CE'_p $是另一个确定性等价于$ p $，即$ u（CE'_p）= u（CE_p）$。由于$ u $严格增加（可以看作是关于一阶随机优势的单调性的结果），我们得到$ CE'_p = CE_p $。

请注意，您不需要风险规避来证明结果，但进一步暗示$ CE_p \ leq \ mathbb {E} p $。