公平有效地分配“家庭用品”

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考虑两种商品的交换经济，例如家用家具（x）和电气设备（y）。关于这些商品的有趣之处在于，当一个家庭拥有捆绑包时，该家庭的所有成员都享受同一捆绑包（这就像“俱乐部商品”，但仅适用于家庭）。

有两个家庭。在每个家庭中，有不同的成员对捆绑商品有不同的偏好。假设所有偏好都是单调递增且严格凸的。

的分配是一对束， $(x_1,y_1)$ 用于家庭和1 $(x_2,y_2)$ 对家庭2。

在以下情况下，分配被称为“不羡慕”：

家庭1的所有成员都认为 $(x_1,y_1)$ 至少和一样好 $(x_2,y_2)$ ;
家庭2的所有成员都认为 $(x_2,y_2)$ 至少与一样好 $(x_1,y_1)$ 。

如果没有其他捆绑分配给家庭，以致所有家庭的所有成员均较弱，而一个家庭中的至少一个成员则更严格，则该分配称为帕累托有效。

在什么条件下存在帕累托有效的无羡慕分配？

如果每个家庭只有一个成员，则存在帕累托有效的无羡慕分配。这是瓦里安的一个著名定理。这个定理是否已从个人推广到家庭？

— 埃雷尔·塞加尔·哈利维（Erel Segal-Halevi）
source

令人羡慕的定义非常明确。有人会猜测您会以某种方式首先汇总首选项，然后声称根据汇总的首选项没有嫉妒心。

— 吉卡德（Giskard）2015年

确实，@ denesp，我考虑过汇总偏好，例如使用社会福利功能。但是，对这种功能的每次选择都是任意的，而且动机不足。

— Erel Segal-Halevi 2015年

@ ErelSegal-Halevi您是否要我们还假设每个家庭每个成员的效用在其家庭获得的

和

数量上都微弱地增加了？如果是这样，那么我对您的条件非常不满意，在这种情况下，存在帕累托有效，无羡慕的分配：假设，对于每个家庭，该家庭的每个成员都有相同的偏好...：P

x

$x$

y

$y$

— Shane

@Shane的单调性弱似乎是一个合理的假设。如果在每个家庭中，所有成员都有相同的偏好，那么每个家庭实际上就像是一个经纪人，因此我们将返回标准设置...

— Erel Segal-Halevi 2015年

那如果情况下

和

？假设单调性较弱，那么这必须是帕累托式的，并且不要嫉妒。从那里，我们也许可以做一些小的ε改变？

x_{1} = x_{2}

$x_1 = x_2$

y_{1} = y_{2}

$y_1 = y_2$

— Kitsune Cavalry

2

现在，我不确定重新标记的等效性，因此不确定此答案是否有用-请参阅下面的评论。

这是答案的开始，也是试图证明必须有多大的假设才能保证存在。

让我们将问题转化为等效的问题，但操作起来要容易一些。与其为家庭编制索引，不如为代理商（家庭成员）编制索引。重新标记的关键是要理解，可以将族写为约束：如果代理和属于同一个族，则和。 $i$ $j$ $x_i=x_j$ $y_i = y_j$

现在，我们回到了具有个体代理人（而非家庭）但具有这些家庭约束的标准环境中。回忆一下在问题中链接的瓦里安定理的证明。它利用了均等收入带来的竞争均衡。在这种情况下，我们将需要一个由均等收入构成的竞争均衡，同时还要满足家族约束。这将很难做到。例如，考虑和是一个家庭， $i$ $j$ 其中是微小的。这些首选项是单调的和凸的。基本上，一个家庭成员关心，另一个家庭关心。如果两个代理人都购买和以最大化其效用，则您不会期望竞争均衡中或（请参阅附录）。

u_{i} = x_{i} + ε y_{i} and u_{j} = ε x_{j} + y_{j}

$u_i=x_i + \varepsilon y_i \:\: \text{ and } \:\: u_j = \varepsilon x_j + y_j$

ε > 0

$\varepsilon>0$

x

$x$

y

$y$

x

$x$

y

$y$

x_{i}^{*} = x_{j}^{*}

$x_i^* = x_j^*$

y_{i}^{*} = y_{j}^{*}

$y_i^* = y_j^*$

这就是为什么您当然需要对家庭内部的偏好相似性做一些假设（至少要使用Varian证明的版本）。我的感觉是，如果您给我家庭成员之间的偏好上的任意微小差异，我可以围绕它构建一个示例，其中不存在他们选择相同分配的CEEI。然后，至少，您不能使用瓦里安的证明。

两个问题：

您是否同意我对问题的重新表述在形式上等同于您？
您能想到一个比假设家庭中的偏好同质性更弱的假设吗？

附录：请记住，在竞争均衡中，每个代理商的边际替代率（MRS）等于价格比。在这里，我的代理人具有不变的MRS，因此在价格比率等于其两个MRS的情况下就不可能存在竞争均衡。如果每个代理商的MRS都在变化，那么在均衡价格比率下，它们可能恰好相等。因此，也许您可以摆脱一些关于家庭偏好的局部同质性的概念。但是您需要在竞争均衡中使它们在本地均一，这正是您要证明存在的事实，因此这有点循环。

重要说明：如前所述，我假设证明存在的唯一方法是Varian如何通过CEEI做到这一点。也许还有其他证明技术可以规避这些问题，但我怀疑不是。

超越CEEI：正如OP在评论中指出的那样，像Varian一样，通过CEEI证明PEEF的存在有些限制性。关于直接证明PEEF的存在，我没有太多话要说，但是以下内容显而易见：对于满足帕累托效率条件的任何分配（暂时忽略嫉妒），对于任何使得， $i,j$ $x_i, x_j, y_i, y_j > 0$

M R S_{i} = M R S_{j}

$MRS_i = MRS_j$ 如果事实并非如此，那将是帕累托的改进。竞争均衡实质上通过价格比将MRS等同起来，但是您仍然需要将这些MRS等同起来才能找到帕累托有效分配。我认为家庭约束将使这一过程变得非常困难-提出一个环境和家庭约束并不难，因此不存在满足这些约束的帕累托有效均衡。无论如何，这可能是迈向答案的另一部分步骤：忘记嫉妒。首先尝试提出关于偏好（可能还有家庭约束）的假设，以保证存在满足家庭约束的帕累托有效分配。然后担心嫉妒。

— 尚恩
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1

我同意您的直觉，即通常不存在具有家族约束的CEEI。但是，PEEF分配比CEEI分配多得多。在许多情况下，CEEI本质上是唯一的，而PEEF却很多。例如（无家族约束），取

和

，总and赋为（4,4）。唯一的CEEI分配是[（4,0）; （0,4）]。但是，PEEF分配的范围从[（3,0）; （1,4）]至[（4,1）; （0,3）]。CEEI只是该范围内的一个点。

u_{1} = 2 x_{1} + y_{1}

$u_1 = 2 x_1 + y_1$

u_{2} = x_{2} + 2 y_{2}

$u_2 = x_2 + 2 y_2$

— Erel Segal-Halevi

1

我在瓦里安的原始论文发现：sciencedirect.com/science/article/pii/0022053174900751 PEEF分配，它不依赖于CEEI等等都是有效的，甚至在其中CEEI不存在的情况下存在的证明（的偏好不是严格凸）。到目前为止，我尚未设法理解这些证明，但它们可能是相关的。

— Erel Segal-Halevi 2015年

@ ErelSegal-Halevi在您的示例中，任何分配均使两个代理严格获得正数量的两种商品，帕累托效率低下，不是吗？我正在努力了解您的范围。不过，更一般而言，我同意你的看法。我添加了另外一部分，直接证明PEEF（没有CEEI）。我认为您不会感到特别满意，但是对于我而言，这几乎是显而易见的。

— Shane 2015年

1

你是对的。在我的例子PEEF分配的范围是：

，其中

，和

其中

[(x_{1}, 0), (4 - x_{1}, 4)]

$[(x_1,0),(4-x_1,4)]$

x_{1} \in [3, 4]

$x_1\in [3,4]$

[(4, 4 - y_{2}), (0, y_{2})]

$[(4,4-y_2),(0,y_2)]$

y_{2} \in [3, 4]

$y_2\in [3,4]$

— Erel Segal-Halevi 2015年

1

嗯... 我所有的索引都是针对个人的，即使

。所以我只是说：“带两个人，不管是否是同一个家庭，……”但是现在我想知道重新标记是否真的有效，因为我没有直接考虑如果

和

是在同一个家庭中，且

，则仅使用1个单位的良好

x_{i}, x_{j}, y_{i}, y_{j}

$x_i,x_j,y_i,y_j$

i

$i$

j

$j$

x_{i} = x_{j} = 1

$x_i = x_j = 1$

x

$x$ ，而不是2。现在我在质疑重新标记的等效性。家庭不仅是一种约束（人们必须共享相同的商品），而且还是一种好处，因为商品在家庭内部是公共的/共享的。

— Shane 2015年

2

$n_u$ $n_v$ $i$

\begin{array}{rcl} u_{i} (x_{u}, y_{u}) = a_{i} x_{u} + y_{u} \end{array}

$\begin{eqnarray*} u_i(x_u, y_u) = a_ix_u + y_u \end{eqnarray*}$

a_{i}

$a_i$

i \in {1, 2, \dots, n_{u}}

$i\in\{1,2,\ldots, n_u\}$

$j$

\begin{array}{rcl} v_{j} (x_{v}, y_{v}) = b_{j} x_{v} + y_{v} \end{array}

$\begin{eqnarray*} v_j(x_v, y_v) = b_jx_v + y_v \end{eqnarray*}$

b_{j}

$b_j$

j \in {1, 2, \dots, n_{v}}

$j\in\{1,2,\ldots, n_v\}$

$\min_i a_i \geq \max_j b_j$

$X$ $Y$ $(\omega_X, \omega_Y)$

对于，定义。 $\theta \in [\max_j b_j, \min_i a_i]$ $m := \displaystyle\frac{\theta\omega_X}{2} + \frac{\omega_Y}{2}$

检查，然后和是帕累托有效的羡慕免费分配，另一方面，如果，然后和是帕累托高效的免费嫉妒对象分配。 $\displaystyle\frac{m}{\theta} \leq \omega_X$ $\displaystyle (x_u, y_u) = \left(\frac{m}{\theta}, 0\right)$ $\displaystyle (x_v, y_v) = \left(\omega_X - \frac{m}{\theta}, \omega_Y\right)$ $\displaystyle\frac{m}{\theta} > \omega_X$ $\displaystyle (x_u, y_u) = \left(\omega_X, m-\theta\omega_X\right)$ $\displaystyle (x_v, y_v) = \left(0, m\right)$

— 阿米特
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需求是什么意思？

min_{i} a_{i} \geq max_{j} b_{j}

$\min_i a_i \geq \max_j b_j$

— Erel Segal-Halevi

U家庭的所有成员的MRS均高于V家庭的所有成员

— 。– Amit

我认为对于2个家庭和线性偏好，可以删除此要求。我还必须处理细节。

— Erel Segal-Halevi

我认为很难删除此要求，因为我们希望分配能令人羡慕。即使以某种方式放松，条件也可能看起来并不整洁。但是，此结果适用于更大类的效用函数。最好将结果扩展为包括其他类型的首选项。例如：还可以根据Cobb Douglas的偏好来证明它的一个版本。

— 阿米特（Amit）

1

假设所有家庭中所有主体的偏好都是单调的和凸的（消费者理论的标准假设）。

然后，当有两个家庭时，总是存在帕累托有效的无羡慕分配。但是，当有三个或三个以上家庭时，它可能不存在。

证明和示例可以在本工作文件中找到。

— 埃雷尔·塞加尔·哈利维（Erel Segal-Halevi）
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-2

问题陈述似乎暗示X和Y不能替代（电子设备不能用作家用家具）。

在以下情况下，存在帕累托有效的无羡慕分配：

对于至少一种代理商，至少某些商品具有负效用或为补充品，代理商可以选择不消费。

例：

代理人A和B在家庭F1中。
代理A的效用函数为：

Ua = -X1-X2-Y1-Y2

代理B的效用函数为：

Ub = X1-X2 + Y1-Y2

特工C和D在家庭2中。
代理C具有实用程序功能：

Uc = -X1-X2-Y1-Y2

代理D具有实用功能：

Ud = -X1 + X2-Y1 + Y2

解：

F1选择（X1，Y1），并且代理商A将选择不消费任何商品。

F2偏爱（X2，Y2），选择的代理商C不消耗任何商品。

这些实际上是语义论点，没有假定共享的偏好就没有有意义的平衡。

— DJ模拟人生
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您能否使您的陈述更准确？例如，什么是“负补数”？并请至少提供一个启发式的论据，以证明您的主张。

— Shane

[0, x_{1}]

$[0,x_1]$

编辑答案。您在第二点上是正确的。如果要求代理商消费，则该参数不适用。

— DJ Sims