快速和向后稳定（左）

我需要计算很多 $3\times3$ 矩阵逆（用于牛顿迭代极坐标分解），具有极少数退化案例（$<0.1\%$）。

显式逆（通过矩阵次要除以行列式）似乎有效，大约是32到40个融合触发器（取决于我如何计算行列式的倒数）。不考虑det比例因子，它只有18个融合触发器（9个元素中的每个都是ab-cd形式，2个融合触发器）。

题：

• 有没有一种方法可以计算 $3\times 3$ 使用少于18个（具有任意标度）或32个（具有适当标度，考虑倒数1 op）的融合触发器？
• 有没有一种经济的方法（使用〜50 f-flops）来计算a的向后稳定左反转 $3\times 3$ 矩阵？

我正在使用单精度浮点数（iOS游戏）。向后稳定性对我来说是一个有趣的新概念，我想尝试一下。这是引起这一想法的文章。

我将尝试就第一个有关快速的问题提出想法$3\times 3$倒数。考虑

$$A=\left[ \begin{array}{ccc} a & d & g\\ b & e & h\\ c & f & i \end{array}\right]$$

由于矩阵很小且非常笼统（不具有任何已知的结构，零，元素的相对比例），我认为不可能给出任意比例的算法（没有 $1/\det(A)$）快于18个融合触发器的逆，因为9个元素中的每一个都需要2个融合触发器，并且所有乘积都是唯一的，前提是没有关于 $A$的条目 $a,\ldots,i$。

$$A^{-1}\det(A)=\text{adj}(A)= \left[\begin{array}{ccc} ei-fh & di-fg & ge-dh\\ bi-ch & ai-cg & ah-bg\\ ce-bf & af-cd & ae-bd \end{array}\right]$$ 这里， $\text{adj}(A)$ 表示佐剂（辅因子的转置），本质上是带有“任意标度”的逆（前提是存在逆）。

但是，可以将某些计算重新用于计算 $\det(A)$。如果我将其扩展到第一列（还有5个选择）：

$$\begin{aligned} \det(A)&=a(ei-fh)+b(fg-di)+c(dh-ge)\\ &=a\underbrace{(ei-fh)}_*-b\underbrace{(di-fg)}_*-c\underbrace{(ge-dh)}_* \end{aligned}$$ 请注意，（*）已经在对 $\text{adj}(A)$。因此，行列式的倒数可以在4个附加的融合触发器中进行计算（如果$1/\det(A)$ 倒数被视为1翻牌）。

现在， $\text{adj}(A)$ 应该通过已经获得的行列式倒数来缩放，再加上9个融合触发器。

所以，

1. 计算 $\text{adj}(A)$ 在18个熔合拖鞋中
2. 计算 $\det(A)$ 使用已经计算的条目在3个融合翻牌中 $\text{adj}(A)$
3. 找 $\frac{1}{\det(A)}$ （假设1次翻牌）。
4. 缩放已计算的每个元素 $\text{adj}(A)$ 通过 $\frac{1}{\det(A)}$ 在另外9个翻牌圈中

结果是18 + 3 + 1 + 9 = 31个融合翻牌。您没有描述计算行列式的方式，但是我想可以再节省1次翻牌。或者可以用来执行检查$|\det(A)|>\epsilon$ 在第3步中 $\epsilon$是退化（不可逆）情况的容差，导致 32个融合flop（假设if为1 flop）。

我认为没有更快的方法可以计算a的逆 $3\times 3$通用矩阵，因为所有剩余的计算都是唯一的。从速度的角度来看，使用Cayley-Hamilton应该无济于事，因为通常它需要计算$A^2$ 为一个 $3\times 3$ 矩阵以及其他一些操作。

注意：

• 这个答案不涉及数值稳定性
• 也没有讨论矢量化和优化内存访问模式的可能潜力