前几天，我的计算流体力学讲师不在了，他派了他的博士候选人代替他。在他的演讲中，他似乎指出了与流体流动模拟的各种离散化方案相关的几个缺点：
有限差分法： 很难满足守恒性并申请不规则几何形状
有限体积法： 它倾向于偏向边缘和一维物理。
有限元法：使用有限元法 很难求解双曲方程。
间断的Galerkin： 这是世界上最好的（也是最糟糕的）。
波动分割： 它们尚未广泛应用。
演讲结束后，我尝试问他从哪里得到这些信息，但他没有说明任何消息来源。我还试图让他澄清DG是“世界上最好的和最坏的”的意思，但无法给出明确的答案。我只能假设他是根据自己的经验得出这些结论的。
根据我自己的经验，我只能验证关于FDM难以应用于不规则几何的第一个说法。对于所有其他索赔，我没有足够的经验来验证它们。我很好奇这些所谓的“缺点”对于CFD模拟的准确性如何。
Answers:
从粗略代表民意的意义上来说，建议的特征是合理的。这个问题范围很广，所以我现在只作一些观察。我可以回应评论。有关更详细的相关讨论，请参见在有限差分和有限元素之间选择什么标准？
低阶保守有限差分法可用于非结构化网格。高阶非振荡FD方法是另一回事。在有限差分WENO方案中，物理现象出现在并非所有Riemann求解器都可用的通量分裂中。
有限体积方法在多个维度上都可以很好地工作，但是要想超出一般流动结构的二阶水平，则需要额外的端面正交点和/或横向Riemann解，这相对于FD方法会大大增加成本。但是，这些FV方法可以应用于非光滑和非结构化网格，并且可以使用任意Riemann求解器。
连续有限元方法可用于CFD，但稳定性变得微妙。具有严格的非振荡方法通常是不实际的，并且稳定化通常需要诸如熵之类的其他信息。当使用一致的质量矩阵时，明确的时间步长变得更加昂贵。连续的Galerkin方法不是局部保守的，这会引起强烈震动的问题。另请参阅解决PDE时，为什么本地保护很重要？
不连续的Galerkin方法可以使用任何Riemann求解器来连接元素。与其他常用方法相比，它们具有更好的固有非线性稳定性。DG的实现也相当复杂，并且通常在元素内部不是单调的。DG的限制器可确保正值或最大原则。
还有其他一些方法，例如“光谱差”（例如Wang等，2007或Liang等，2009），可能具有非常高的效率（例如“有限差”），同时具有更大的几何灵活性和更高的阶次精度。
高雷诺数流具有较薄的边界层，需要高度各向异性的元素才能有效求解。对于不可压缩或几乎不可压缩的元素，这会给许多离散化带来很大麻烦。有关其他讨论（主要是从有限元方法的角度来看），请参见哪些空间离散化适用于各向异性边界网格的不可压缩流？
对于稳定的问题，有效使用非线性多重网格（FAS）的能力很有吸引力。FD，FV和DG方法通常可以有效地使用FAS，因为粗略地说，