SVD的鲁棒算法

计算矩阵的SVD的简单算法是什么？$2 \times 2$

理想情况下，我希望使用数值上健壮的算法，但我希望同时看到简单和不太简单的实现。接受C代码。

对文件或代码有任何参考吗？

参见/math/861674/decompose-a-2d-arbitrary-transform-into-only-scaling-and-rotation（对不起，我会在评论中输入，但我已经注册了只是发布此内容，这样我还不能发表评论）。

但是，由于我将其作为答案来编写，因此我还将编写该方法：

$$E=\frac{m_{00}+m_{11}}{2}; F=\frac{m_{00}-m_{11}}{2}; G=\frac{m_{10}+m_{01}}{2}; H=\frac{m_{10}-m_{01}}{2}\\ Q=\sqrt{E^2+H^2}; R=\sqrt{F^2+G^2}\\ s_x=Q+R; s_y=Q-R\\ a_1=\mathrm{atan2}(G,F); a_2=\mathrm{atan2}(H,E)\\ \theta=\frac{a_2-a_1}{2}; \phi=\frac{a_2+a_1}{2}$$

分解矩阵如下：

$$M=\pmatrix{m_{00}&m_{01}\\m_{10}&m_{11}}=\pmatrix{\cos\phi&-\sin\phi\\\sin\phi&\cos\phi}\pmatrix{s_x&0\\0&s_y}\pmatrix{\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta}$$

此方法唯一需要注意的是atan2的或。$G=F=0$$H=E=0$我怀疑它会比这更强大（更新：请参见Alex Eftimiades的答案！）。

参考是：http : //dx.doi.org/10.1109/38.486688（由Rahul提供），来自此博客文章的底部：http : //metamerist.blogspot.com/2006/10/linear-algebra -for-graphics-geeks-svd.html

更新： @VictorLiu在评论中指出，可能为负。当且仅当输入矩阵的行列式也为负时，才会发生这种情况。如果是这样，并且您想要正的奇异值，则只需取的绝对值即可。$s_y$$s_y$

@佩德罗·吉梅诺

“我怀疑它会比这更强大。”

接受挑战。

我注意到通常的方法是使用像atan2这样的trig函数。直观上，不需要使用trig函数。实际上，所有结果最终都是反正弦的正弦和余弦，可以将其简化为代数函数。花了相当长的时间，但我设法简化了Pedro的算法，只使用代数函数。

以下python代码可以解决问题。

从numpy import asarray，diag


def svd2（m）：

    y1, x1 = (m[1, 0] + m[0, 1]), (m[0, 0] - m[1, 1])
    y2, x2 = (m[1, 0] - m[0, 1]), (m[0, 0] + m[1, 1])

    h1 = hypot(y1, x1)
    h2 = hypot(y2, x2)

    t1 = x1 / h1
    t2 = x2 / h2

    cc = sqrt((1 + t1) * (1 + t2))
    ss = sqrt((1 - t1) * (1 - t2))
    cs = sqrt((1 + t1) * (1 - t2))
    sc = sqrt((1 - t1) * (1 + t2))

    c1, s1 = (cc - ss) / 2, (sc + cs) / 2,
    u1 = asarray([[c1, -s1], [s1, c1]])

    d = asarray([(h1 + h2) / 2, (h1 - h2) / 2])
    sigma = diag(d)

    if h1 != h2:
        u2 = diag(1 / d).dot(u1.T).dot(m)
    else:
        u2 = diag([1 / d[0], 0]).dot(u1.T).dot(m)

    return u1, sigma, u2

的GSL具有2乘2 SVD解算器的主要SVD算法的QR分解部底层gsl_linalg_SV_decomp。查看svdstep.c文件并查找svd2功能。该函数有一些特殊情况，并非完全无关紧要，并且看起来在做一些事情在数字上要小心（例如，使用hypot以避免溢出）。

当我们说“数值鲁棒性”时，通常指的是一种算法，其中我们进行诸如枢转之类的操作以避免错误传播。但是，对于2x2矩阵，您可以按照显式公式写下结果-即写下SVD元素的公式，这些公式仅根据输入而不是先前计算的中间值来陈述结果。这意味着您可能有取消但没有错误传播。

重点仅在于对于2x2系统，不必担心鲁棒性。

该代码基于Blinn的论文，Ellis的论文，SVD讲座和其他 计算。一种算法适用于规则和奇异实数矩阵。所有以前的版本都可以与此版本100％兼容。

#include <stdio.h>
#include <math.h>

void svd22(const double a[4], double u[4], double s[2], double v[4]) {
    s[0] = (sqrt(pow(a[0] - a[3], 2) + pow(a[1] + a[2], 2)) + sqrt(pow(a[0] + a[3], 2) + pow(a[1] - a[2], 2))) / 2;
    s[1] = fabs(s[0] - sqrt(pow(a[0] - a[3], 2) + pow(a[1] + a[2], 2)));
    v[2] = (s[0] > s[1]) ? sin((atan2(2 * (a[0] * a[1] + a[2] * a[3]), a[0] * a[0] - a[1] * a[1] + a[2] * a[2] - a[3] * a[3])) / 2) : 0;
    v[0] = sqrt(1 - v[2] * v[2]);
    v[1] = -v[2];
    v[3] = v[0];
    u[0] = (s[0] != 0) ? (a[0] * v[0] + a[1] * v[2]) / s[0] : 1;
    u[2] = (s[0] != 0) ? (a[2] * v[0] + a[3] * v[2]) / s[0] : 0;
    u[1] = (s[1] != 0) ? (a[0] * v[1] + a[1] * v[3]) / s[1] : -u[2];
    u[3] = (s[1] != 0) ? (a[2] * v[1] + a[3] * v[3]) / s[1] : u[0];
}

int main() {
    double a[4] = {1, 2, 3, 6}, u[4], s[2], v[4];
    svd22(a, u, s, v);
    printf("Matrix A:\n%f %f\n%f %f\n\n", a[0], a[1], a[2], a[3]);
    printf("Matrix U:\n%f %f\n%f %f\n\n", u[0], u[1], u[2], u[3]);
    printf("Matrix S:\n%f %f\n%f %f\n\n", s[0], 0, 0, s[1]);
    printf("Matrix V:\n%f %f\n%f %f\n\n", v[0], v[1], v[2], v[3]);
}

我需要一个算法

• 小分支（希望是CMOV）
• 没有三角函数调用
• 即使使用32位浮点数也具有很高的数值精度

我们要计算和，如下所示：$c_1, s_1, c_2, s_2, \sigma_1$$\sigma_2$

$A = USV$，可以扩展为：

$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_1 & s_1 \\ -s_1 & c_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sigma_1 & 0 \\ 0 & \sigma_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_2 & -s_2 \\ s_2 & c_2 \end{bmatrix}$

主要思想是找到对角化的旋转矩阵，即是对角线。$V$$A^TA$$VA^TAV^T=D$

回顾

$USV = A$

$US = AV^{-1} = AV^T$（因为是正交的）$V$

$VA^TAV^T = (AV^T)^TAV^T = (US)^TUS = S^TU^TUS = D$

将双方都乘以我们得到$S^{-1}$

$(S^{-T}S^T)U^TU(SS^{-1}) = U^TU = S^{-T}DS^{-1}$

由于是对角线，设置到会给我们，这意味着是一个旋转矩阵，是对角矩阵，是一个旋转矩阵和，正是我们正在寻找对于。$D$$S$$\sqrt{D}$$U^TU=Identity$$U$$S$$V$$USV = A$

可以通过求解以下方程式来计算对角线旋转：

$t_2^2 - \frac{\beta-\alpha}{\gamma}t_2-1 = 0$

哪里

$A^TA = \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2+c^2 & ab+cd \\ ab+cd & b^2+d^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha & \gamma \\ \gamma & \beta \end{bmatrix}$

和是角的正切值。这可以通过扩展并使它的非对角元素等于零（它们彼此相等）来得出。$t_2$$V$$VA^TAV^T$

该方法的问题在于，由于计算中的减法，在为某些矩阵计算和时，它将失去显着的浮点精度。此解决方案是做一个RQ分解（，上三角和正交）第一，然后使用算法因式分解。这使。请注意，将设置为0（如）是如何消除某些加法/减法的。（RQ分解从矩阵乘积的扩展来看是微不足道的）。$\beta-\alpha$$\gamma$$A=RQ$$R$$Q$$USV' = R$$USV=USV'Q=RQ=A$$d$$R$

以这种方式天真的实现的算法存在一些数值和逻辑异常（例如或），我在下面的代码中对此进行了修复。$S$ $+\sqrt{D}$$-\sqrt{D}$

我在该代码上抛出了约2000万个随机矩阵，并且产生的最大数值误差约为（具有32位浮点数，）。该算法运行大约340个时钟周期（MSVC 19，Ivy Bridge）。$6\cdot10^{-7}$$error = ||USV-M||/||M||$

template <class T>
void Rq2x2Helper(const Matrix<T, 2, 2>& A, T& x, T& y, T& z, T& c2, T& s2) {
    T a = A(0, 0);
    T b = A(0, 1);
    T c = A(1, 0);
    T d = A(1, 1);

    if (c == 0) {
        x = a;
        y = b;
        z = d;
        c2 = 1;
        s2 = 0;
        return;
    }
    T maxden = std::max(abs(c), abs(d));

    T rcmaxden = 1/maxden;
    c *= rcmaxden;
    d *= rcmaxden;

    T den = 1/sqrt(c*c + d*d);

    T numx = (-b*c + a*d);
    T numy = (a*c + b*d);
    x = numx * den;
    y = numy * den;
    z = maxden/den;

    s2 = -c * den;
    c2 = d * den;
}


template <class T>
void Svd2x2Helper(const Matrix<T, 2, 2>& A, T& c1, T& s1, T& c2, T& s2, T& d1, T& d2) {
    // Calculate RQ decomposition of A
    T x, y, z;
    Rq2x2Helper(A, x, y, z, c2, s2);

    // Calculate tangent of rotation on R[x,y;0,z] to diagonalize R^T*R
    T scaler = T(1)/std::max(abs(x), abs(y));
    T x_ = x*scaler, y_ = y*scaler, z_ = z*scaler;
    T numer = ((z_-x_)*(z_+x_)) + y_*y_;
    T gamma = x_*y_;
    gamma = numer == 0 ? 1 : gamma;
    T zeta = numer/gamma;

    T t = 2*impl::sign_nonzero(zeta)/(abs(zeta) + sqrt(zeta*zeta+4));

    // Calculate sines and cosines
    c1 = T(1) / sqrt(T(1) + t*t);
    s1 = c1*t;

    // Calculate U*S = R*R(c1,s1)
    T usa = c1*x - s1*y; 
    T usb = s1*x + c1*y;
    T usc = -s1*z;
    T usd = c1*z;

    // Update V = R(c1,s1)^T*Q
    t = c1*c2 + s1*s2;
    s2 = c2*s1 - c1*s2;
    c2 = t;

    // Separate U and S
    d1 = std::hypot(usa, usc);
    d2 = std::hypot(usb, usd);
    T dmax = std::max(d1, d2);
    T usmax1 = d2 > d1 ? usd : usa;
    T usmax2 = d2 > d1 ? usb : -usc;

    T signd1 = impl::sign_nonzero(x*z);
    dmax *= d2 > d1 ? signd1 : 1;
    d2 *= signd1;
    T rcpdmax = 1/dmax;

    c1 = dmax != T(0) ? usmax1 * rcpdmax : T(1);
    s1 = dmax != T(0) ? usmax2 * rcpdmax : T(0);
}

想法来自：http:
//www.cs.utexas.edu/users/inderjit/public_papers/HLA_SVD.pdf
http://www.math.pitt.edu/~sussmanm/2071Spring08/lab09/index.html
http：// www.lucidarme.me/singular-value-decomposition-of-a-2x2-matrix/

我使用http://www.lucidarme.me/?p=4624上的描述来创建此C ++代码。矩阵是本征库的矩阵，但是您可以从此示例轻松创建自己的数据结构：

$A=U\Sigma V^T$

#include <cmath>
#include <Eigen/Core>
using namespace Eigen;

Matrix2d A;
// ... fill A

double a = A(0,0);
double b = A(0,1);
double c = A(1,0);
double d = A(1,1);

double Theta = 0.5 * atan2(2*a*c + 2*b*d,
                           a*a + b*b - c*c - d*d);
// calculate U
Matrix2d U;
U << cos(Theta), -sin(Theta), sin(Theta), cos(Theta);

double Phi = 0.5 * atan2(2*a*b + 2*c*d,
                         a*a - b*b + c*c - d*d);
double s11 = ( a*cos(Theta) + c*sin(Theta))*cos(Phi) +
             ( b*cos(Theta) + d*sin(Theta))*sin(Phi);
double s22 = ( a*sin(Theta) - c*cos(Theta))*sin(Phi) +
             (-b*sin(Theta) + d*cos(Theta))*cos(Phi);

// calculate S
S1 = a*a + b*b + c*c + d*d;
S2 = sqrt(pow(a*a + b*b - c*c - d*d, 2) + 4*pow(a*c + b*d, 2));

Matrix2d Sigma;
Sigma << sqrt((S1+S2) / 2), 0, 0, sqrt((S1-S2) / 2);

// calculate V
Matrix2d V;
V << signum(s11)*cos(Phi), -signum(s22)*sin(Phi),
     signum(s11)*sin(Phi),  signum(s22)*cos(Phi);

具有标准标志功能

double signum(double value)
{
    if(value > 0)
        return 1;
    else if(value < 0)
        return -1;
    else
        return 0;
}

结果得出的值与完全相同Eigen::JacobiSVD（请参见https://eigen.tuxfamily.org/dox-devel/classEigen_1_1JacobiSVD.html）。

我在这里有2x2真正SVD的纯C代码。参见559行。它本质上是通过求解二次函数来计算的特征值，因此它不一定是最健壮的，但对于不太病理的情况，它似乎在实践中效果很好。这比较简单。$A^TA$

出于我的个人需求，我尝试隔离2x2 svd的最小计算量。我想这可能是最简单，最快的解决方案之一。您可以在我的个人博客中找到详细信息：http : //lucidarme.me/?p=4624。

优点：简单，快速，并且如果不需要这三个矩阵，则只能计算三个或三个矩阵（S，U或D）中的一个或两个。

缺点是使用atan2，后者可能不准确，可能需要外部库（典型的math.h）。

这是2x2 SVD解决方案的实现。我基于Victor Liu的代码。他的代码不适用于某些矩阵。我将这两个文档用作求解的数学参考：pdf1和pdf2。

矩阵setData方法按行优先。在内部，我将矩阵数据表示为给出的2D数组data[col][row]。

void Matrix2f::svd(Matrix2f* w, Vector2f* e, Matrix2f* v) const{
    //If it is diagonal, SVD is trivial
    if (fabs(data[0][1] - data[1][0]) < EPSILON && fabs(data[0][1]) < EPSILON){
        w->setData(data[0][0] < 0 ? -1 : 1, 0, 0, data[1][1] < 0 ? -1 : 1);
        e->setData(fabs(data[0][0]), fabs(data[1][1]));
        v->loadIdentity();
    }
    //Otherwise, we need to compute A^T*A
    else{
        float j = data[0][0]*data[0][0] + data[0][1]*data[0][1],
            k = data[1][0]*data[1][0] + data[1][1]*data[1][1],
            v_c = data[0][0]*data[1][0] + data[0][1]*data[1][1];
        //Check to see if A^T*A is diagonal
        if (fabs(v_c) < EPSILON){
            float s1 = sqrt(j),
                s2 = fabs(j-k) < EPSILON ? s1 : sqrt(k);
            e->setData(s1, s2);
            v->loadIdentity();
            w->setData(
                data[0][0]/s1, data[1][0]/s2,
                data[0][1]/s1, data[1][1]/s2
            );
        }
        //Otherwise, solve quadratic for eigenvalues
        else{
            float jmk = j-k,
                jpk = j+k,
                root = sqrt(jmk*jmk + 4*v_c*v_c),
                eig = (jpk+root)/2,
                s1 = sqrt(eig),
                s2 = fabs(root) < EPSILON ? s1 : sqrt((jpk-root)/2);
            e->setData(s1, s2);
            //Use eigenvectors of A^T*A as V
            float v_s = eig-j,
                len = sqrt(v_s*v_s + v_c*v_c);
            v_c /= len;
            v_s /= len;
            v->setData(v_c, -v_s, v_s, v_c);
            //Compute w matrix as Av/s
            w->setData(
                (data[0][0]*v_c + data[1][0]*v_s)/s1,
                (data[1][0]*v_c - data[0][0]*v_s)/s2,
                (data[0][1]*v_c + data[1][1]*v_s)/s1,
                (data[1][1]*v_c - data[0][1]*v_s)/s2
            );
        }
    }
}