所以我要掌握傅里叶变换。现在，我凭直觉明确地理解了它的作用，并将很快参加一些数学课程（因此是实际课程）。但是后来我继续阅读有关拉普拉斯变换的文章，在那里我有点迷失了。发出信号的时刻是什么？为什么傅立叶变换是拉普拉斯变换的特例？我如何掌握Laplace变换？
在问这个问题之前，我已经看过这些资料：
Answers:
如果您对傅立叶变换有所了解，那么您可能已经有一个将信号变换到频域的概念模型。拉普拉斯变换提供了信号的另一种频域表示形式-通常称为“ S域”，以将其与其他频域变换（例如Z变换-实质上是拉普拉斯变换的递减等效项）区分开。
发出信号的时刻是什么？
毫无疑问，您会注意到拉普拉斯（Laplace）变换给我们提供了有关信号时刻的描述，类似于傅立叶变换如何给我们提供了有关相位和幅度的描述。
从广义上讲，可以考虑一个矩，即样本如何偏离信号的平均值-第一个矩实际上是均值，第二个矩是方差等……（这些统称为“分布矩”）
给定函数F（t），我们可以计算t = 0时的第n个导数以给出第n个矩。正如可以使用相位和幅度完全描述一个信号一样，也可以使用其所有导数完全描述一个信号。
为什么傅立叶变换是拉普拉斯变换的特例？
如果我们看一下双边拉普拉斯变换：
很明显，替换将产生熟悉的傅立叶变换方程：
关于这种关系，有一些注释（http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform#Fourier_transform），但是数学应该是相当透明的。
为什么傅立叶变换是拉普拉斯变换的特例？
拉普拉斯变换产生复数值的2D曲面，而傅立叶变换产生复数的1D线。沿jω轴切片拉普拉斯变换时，将得到傅里叶变换。例如，一个简单的低通滤波器在S平面中的原点左侧具有一个极点：
从侧面看，此拉普拉斯变换的幅度形成一个表面，该极点像一个帐篷极，在该点处将幅度提高到无穷大（而隐含的在零处的零则使幅度越远离零就下降到零）。您从任何方向出发）：
如果现在仅沿jω轴获取曲面的值，那就是傅里叶变换。这是上图中的红色曲线，您可以看到它形成一个低通滤波器。如果将杆移离原点更远，则帐篷将沿相同方向移动，并且沿jω轴的切片将下降，这会降低增益（我们通过增加总增益来补偿）并增加了截止频率。我一直想制作一些类似这样的动画...
http://www.maximintegrated.com/zh-CN/app-notes/index.mvp/id/733
我见过的有关Laplace变换的最佳直观描述：
乍一看，拉普拉斯变换的策略似乎与傅立叶变换相同：将时域信号与一组基本函数相关联以分解波形。不对！即使数学基本相同，但这两种技术的原理也大相径庭。
拉普拉斯变换可以看作是使用各种指数衰减的正弦曲线来探测系统的脉冲响应。产生抵消的探测波形称为极点和零点。
在书中有一个很好的类比：
现在，考虑一下您如何理解火车沿线的海拔高度与距离（与导体的距离）之间的关系。由于您已经直接测量了沿途的海拔高度，因此可以正确地声称您知道有关该关系的所有信息。相比之下，售票员知道的是相同的完整信息，但是形式更简单，更直观：导致沿路径倾斜和起伏的丘陵和山谷的位置。尽管您对信号的描述可能包含数千个单独的测量值，但导体对信号的描述将仅包含一些参数。