何时别名是一件好事？

在汉明（Hamming）的著作《科学与工程的艺术》中，他讲述了以下故事：

根据他们理解的采样定理，海军研究生院的一个小组正在调制一个非常高频率的信号，直到他们可以承受的范围。但是我意识到，如果他们巧妙地对高频进行采样，那么采样行为本身就会降低（混叠）它。经过几天的争论，他们拆除了降频设备机架，其余设备运行得更好！

与要避免的副作用相反，还有其他方法可以使用混叠作为处理信号的主要技术吗？

问题中引用的文字是使用带通采样或欠采样的情况。

在这里，为了避免混叠失真，感兴趣的信号必须是带通的。这意味着信号的功率谱仅在之间不为零。$f_L < |f| < f_H$

如果我们以的速率采样信号，则后续重复频谱不重叠的条件意味着我们可以避免混叠。重复的光谱出现在每个整数倍。$f_s$$f_s$

从数学上讲，我们可以将这种条件写为避免混叠失真为

$$\frac{2 f_H}{n} \le f_s \le \frac{2 f_L}{n - 1}$$

其中是一个满足的整数$n$

$$1 \le n \le \frac{f_H}{f_H - f_L}$$

可以使用许多有效的频率范围，如下图所示（摘自上面的Wikipedia链接）。

在上图中，如果问题出在灰色区域，则可以通过带通采样避免混叠失真-即使采样信号被混叠，我们也不会扭曲信号频谱的形状。

让人想到的一个例子是数字解调。线性调制方案的最佳检测器是匹配滤波并抽取到每个符号的中间样本。

匹配的过滤可能无法很好地降低带宽，但是我们仍然希望以符号速率进行决策。

在这种情况下，能量的混叠是重构调制符号的一部分。

关键是能量必须在正确的相位中连贯地混叠，即定时至关重要。

超分辨率是另一个需要混叠的地方，或者说得更好，光学系统不应成为链条中最薄弱的环节（而有效抗混叠的光学组件（例如抗波纹滤光片）不应成为其中的一部分。连锁，链条）

混叠不成问题的另一时间是设计用于抽取的低通滤波器。在抽取操作之后，可以允许一些混叠，以放宽对滤波器性能的限制，从而实现低阶设计。可以将阻带边缘滑出足够远的距离，以至于它不会混叠回到滤波器的通带中（因此会破坏您的感兴趣信号），而不是将阻带边缘置于抽取后的奈奎斯特频率。

声明更数学，假设您的原始信号是在速率采样和你是一个因素抽取。滤波器的通带边缘由感兴趣信号的带宽定义。抽取后的奈奎斯特频率将为，因此显然带通边缘频率必须小于此值。$f_s$$D$$f_p$$\frac{f_s}{2 D}$

由于我已经断言可以允许阻带流过抽取的Nyquist频率，因此请回想第二Nyquist区域中的混叠是如何工作的：抽取操作之前，频率为任何内容之后似乎位于。因此，我们可以将阻带边缘置于某个频率并选择，以使滤波器的过渡带不与通带重叠在我们消灭之后。为了做到这一点：$\frac{f_s}{2 D} + \Delta f$$\frac{f_s}{2 D} - \Delta f$$f_{stop} = \frac{f_s}{2 D} + \Delta f$$\Delta f$

$$f_{stop_{aliased}} = \frac{f_s}{2 D} - \Delta f \ge f_p$$

$$\Delta f \le \frac{f_s}{2 D} - f_p$$

得出的结论是，如果在后抽取信号中仍存在相当数量的过采样（出于某些原因，您会这样做），那么您可以将阻带推出一个不小的数量。作为定量度量，您可以查看“原始”和“松弛”过滤器规格的转换率：

$$T_{naive} = \frac{f_p}{f_{stop_{naive}}} = \frac{f_p}{\frac{f_s}{2 D}} = \frac{2 D f_p}{f_s}$$

$$T_{relaxed} = \frac{f_p}{f_{stop_{relaxed}}} = \frac{f_p}{\frac{f_s}{2 D} + (\frac{f_s}{2 D} - f_p)} = \frac{f_p}{\frac{f_s}{D} - f_p}$$

$$\frac{T_{relaxed}}{T_{naive}} = \frac{\frac{f_p}{\frac{f_s}{D} - f_p}}{\frac{2 D f_p}{f_s}}$$

$$\frac{T_{relaxed}}{T_{naive}} = \frac{1}{2 - \frac{f_p}{\frac{f_s}{2 D}}}$$

这最后一个表达式为您提供了过渡比率改善的紧凑表示，可以通过以这种方式放宽滤波器规格来获得，由滤波器的通带（即感兴趣信号的带宽）与抽取后的奈奎斯特频率之比来参数化。将该比率绘制为通带频率的函数（通过抽取后的采样率标准化），您将得到：

因此，总而言之，如果在抽取操作之后仍对信号进行了适当的过采样，则可以通过放宽其规格来将滤波器的转换率降低多达2倍。根据经验，FIR滤波器所需的抽头数量大致与转换比成正比。在执行抽取时，它的确允许混叠，但是设计规范时应保证混叠不会与所需信号重叠。这样一来，如果需要，以后可以通过一个以抽取采样率运行的滤波器将其删除。$\frac{f_s}{D}$

在某些情况下，混淆确实是一件好事。

这样看：假设您的采样率为100 Hz。假设您在某处有一个信号，例如从990 Hz到1010 Hz。（因此，其总带宽为20 Hz，并以1000 Hz为中心）。

好极了，现在呢？

假设您以100 Hz的速率对该信号进行了采样。发生的一切都是信号（以990-1010为中心，以1000Hz为中心）被复制并以100的整数倍偏移吗？

因此，现在突然之间您有了原始990-1010信号的副本，但现在您有一个以900、800、700、600等为中心，还有1100、1200、1300等的中心。BW是当然也一样。因此，以900为中心的信号副本占用890-910 Hz。位于800 Hz的副本占据790-810 Hz，依此类推。您还将在“基带”上获得一个副本（这意味着它以0Hz为中心，因此占据-10至10Hz）。

那么什么时候有用？好吧，请看一下您刚才所做的事情-您刚刚设法将信号置于1000Hz，将其置于基带，然后使用仅以100Hz运行的采样器进行所有处理！你猜怎么着！奈奎斯特（Nyquist）认为，这一切都是合法的！

这是因为奈奎斯特（Nyquist）并没有说您必须至少采样最大频率的两倍-错误错误错误错误错误！（但很常见的误解。）他说，您必须至少采样信号最大带宽的两倍，在这种情况下，最大带宽为20Hz。

应用程序？好吧，许多手机基站实际上都使用了这种“欠采样”技术。因此，您的手机信号处于较高的Ghz范围，而基站正在数百Mhz范围内采样。

顺便说一下，我认为Nyquist实际上是如何工作的，所以我不喜欢“欠采样”一词-因为这意味着我们很欠采样。但是我们不能！我们完全遵循Nyquist，并且始终至少对所讨论信号的最大带宽进行两倍采样。