我们什么时候可以将海森堡不确定性原理写成平等？

我们知道，海森堡测不准原理指出

$$\Delta f \Delta t \geq \frac{1}{4 \pi}.$$

但是（在许多情况下，对于Morlet小波）我已经看到他们将不等式变成了等式。现在的问题是我们什么时候允许不等式变成一个等式：

$$\Delta f \Delta t = \frac{1}{4 \pi}$$ why =

以限定的时间和频率宽度是非常重要的和Δ ω讨论的不确定性原理的任何特殊形式的前一个信号的。这些数量没有唯一的定义。通过适当的定义，可以证明只有高斯信号相等地满足不确定性原理。$\Delta_t$$\Delta_{\omega}$

考虑一个满足傅立叶变换F （ω ）的信号$f(t)$$F(\omega)$

$$\int_{-\infty}^{\infty}f^2(t)dt=1\quad\textrm{(unit energy)}\\ \int_{-\infty}^{\infty}t|f(t)|^2dt=0\quad\textrm{(centered around }t=0)\\ \int_{-\infty}^{\infty}\omega|F(\omega)|^2d\omega=0\quad\textrm{(centered around }\omega=0)$$

这些条件实际上都不是限制。通过适当的缩放，转换和调制，它们都可以满足（对于具有有限能量的信号）。

如果我们现在按以下方式定义时间和频率宽度

$$\Delta_t^2=\int_{-\infty}^{\infty}t^2|f(t)|^2dt\\ \Delta_{\omega}^2=\int_{-\infty}^{\infty}\omega^2|F(\omega)|^2d\omega$$

然后不确定性原则指出

$$\Delta_t^2\Delta_{\omega}^2\ge\frac{\pi}{2}\tag{2.6.2}$$

$f(t)$$1/\sqrt{t}$$t\rightarrow\pm\infty$

不等式满足高斯信号相等

$$f(t)=\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}e^{-\alpha t^2}\tag{2.6.3}$$

上面的等式编号对应于下面的证明，该证明来自Vetterli和Kovacevic的“ 小波和子带编码”（第80页）：

我不能给您提供所有背后的理论（因为它确实填满了书本），但事实证明，海森堡恰恰恰恰是这一系列信号的完全平等：

$$s_{t_0,\omega_0,\sigma,\phi,\gamma}(t) = \exp\left(-\left(\frac{t-t_0}{\sigma}\right)^2 + i \left(\phi + \omega_0 (t-t_0) + \gamma (t-t_0)^2\right)\right)$$

其中所有参数均为实数。该族由单个Gabor原子在时间-频率上的二次辛同态生成。这些辛同态保持了海森堡不确定性关系。

$\Delta F \cdot \Delta T$$\gamma$

然而，时频区域的概念可以被概括为测量与时间和频率轴不对齐的形状的区域。这意味着我们将测量F和T跨越的任何两个共轭变量的最小不确定性乘积，而不是F和T之间的乘积。你最低。

不确定性原则为解决方案设置了理论上的界限，因此永远不会将其写为平等。

您遇到的相等关系适用于特定的分析上下文和分析实现。在这种情况下，上下文是信号分析，因此时间/频率是感兴趣的共轭变量，实现是使用中的特定小波。

相等关系提供了一种比较不同分析实现中的分辨率的方法。在解释这些关系时必须小心，因为解决方案的定义不应该，但可能会有所不同。

一旦定义了两件事，相等关系就适用：1）解析的数学含义。2）分析方法（在这种情况下，选择小波）。