解决一维信号的卷积问题

我在尝试解决此问题时遇到麻烦。我必须计算该信号的卷积：

$$y(t)=e^{-kt}u(t)\frac{\sin\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{({\pi}t)}$$

其中是Heavyside函数$u(t)$

我应用了公式，说这两个信号的卷积等于

$$Y(f)=X(f)\cdot W(f)$$

其中是第一个信号的傅立叶变换，是第二个信号的傅立叶变换$X(f)$$W(f)$

傅立叶变换是$e^{-kt}u(t)$

$$X(f)=\dfrac{1}{k+j2{\pi}f}$$

我必须使第二个信号尽可能等于$\text{sinc}\left(\dfrac{t}{10}\right)$

所以我做这个操作：

$$\dfrac{\sin\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{\left(\dfrac{1}{10}\right)}$$ 等于 $${\left(\dfrac{1}{10}\right)}\text{sinc}\left(\dfrac{t}{10}\right)$$

对不对？

尽管我意识到这是一个很晚的答复，但我还是会尝试回答这个问题，因为我发现它很有启发性，并且因为投票数表明该问题是社区普遍关注的。

正如问题中已经建议的那样，让我们​​将两个信号和为 $x(t)$$w(t)$

$$x(t)=e^{-kt}u(t),\quad k>0\\w(t)=\frac{\sin(\pi t/10)}{\pi t}$$

卷积一种可能解释是，指数阻尼信号被具有脉冲响应的理想低通滤波器滤波。在该问题中，还正确指出，时域中的卷积对应于频域中的乘法。的傅立叶积分可以很容易地计算出：$(x*w)(t)$$x(t)$$w(t)$$x(t)$

$$X(j\omega)=\int_{0}^{\infty}e^{-kt}e^{-j\omega t}dt = \frac{1}{k+j\omega}$$

的傅立叶变换应该是熟悉的，因为它是理想的低通滤波器。在这个问题上，关于Sinc函数的定义有些混乱。我建议简单地记住一个截止频率为的单位增益低通滤波器的脉冲响应，而无需使用Sinc函数的任何定义： $w(t)$$\omega_0=2\pi f_0$

$$h_{LP}(t)=\frac{\sin \omega_0 t}{\pi t}\tag{1}$$

将（1）与的定义进行比较，我们看到只是具有截止频率的单位增益低通滤波器： ，其中在频域中使用了阶跃函数。$w(t)$$w(t)$$\omega_0=\pi/10$

$$W(j\omega)=u(\omega+\omega_0)-u(\omega-\omega_0)$$ $u(\omega)$

为了找到时间函数可以计算傅里叶逆变换：$y(t)=(x*w)(t)$$Y(j\omega)=X(j\omega)W(j\omega)$

$$y(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(j\omega)W(j\omega)e^{j\omega t}d\omega= \frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_0}^{\omega_0}\frac{1}{k+j\omega}e^{j\omega t}d\omega$$

不幸的是，没有使用基本函数的闭合积分形式的解决方案。可以使用指数积分或正弦和余弦积分和进行数值评估。因此，我认为该练习的目的并不是要实际计算卷积，但其目的可能是对所发生的情况进行定性描述（由理想的低通滤波器过滤后的指数信号）。Si （x ）Ci （x $\text{Ei}(x)$$\text{Si}(x)$$\text{Ci}(x)$

不过，我认为查看信号，因此我对参数和进行了数字评估。下图显示了结果： ķ = 0.05 ω 0 = π /$y(t)$$k=0.05$$\omega_0=\pi/10$

绿色曲线是输入信号，蓝色曲线是滤波信号。注意（非因果）的涟漪对所引起的理想（非因果）低通滤波器。如果增加低通滤波器的截止频率，则输入信号的失真将变小。如下图所示，我将截止频率提高了10倍，即（而不是）：Ý （吨）Ý （吨）吨< 0 ω 0 = π π /$x(t)$$y(t)$$y(t)$$t<0$$\omega_0=\pi$$\pi/10$