为什么FFT的实部将图像转换为旋转+原始图像？

我已经看过这张图片：

进行FFT（2D），然后进行逆FFT，以获取准确的图像。提供代码以供参考：

imfft = fft2(photographer);
im = uint8(ifft2(imfft));

imshow(im); %Output is same image

但是当我改变傅立叶而只占真实部分时，

imfft = real(fft2(photographer));
im = uint8(ifft2(imfft));
imshow(im);

我得到这样的图像（请注意，大小更改是无关紧要的，仅是由于从Matlab图形处理程序中保存了它）：

有人可以向我解释其背后的理论（数学）吗？谢谢

假设您的图片由。然后通过给出其傅立叶变换 $I(x,y)$

$$I^f(\omega_x,\omega_y) = \int_x\int_yI(x,y)e^{j\omega_xx}e^{j\omega_yy}dxdy$$

现在，您可以发挥真正的作用并执行相反的操作：

$$\begin{align} I_m(\alpha,\beta) &= \int_{\omega_x}\int_{\omega_y}\Re\left\{I^f(\omega_x,\omega_y)\right\} e^{j\omega_x\alpha}e^{j\omega_y\beta}d\omega_xd\omega_y \\ &= \int_{\omega_x}\int_{\omega_y}\Re\left\{\int_x\int_yI(x,y)e^{j\omega_xx}e^{j\omega_yy}dxdy\right\} e^{j\omega_x\alpha}e^{j\omega_y\beta}d\omega_xd\omega_y\\ &= \int_x\int_yI(x,y)\int_{\omega_x}\int_{\omega_y}\Re\left\{e^{j\omega_xx}e^{j\omega_yy}\right\} e^{j\omega_x\alpha}e^{j\omega_y\beta}d\omega_xd\omega_ydxdy \end{align}$$

您可以清楚地看到，内部积分是的2D傅里叶变换 ，即

$$\cos(\omega_xx)\cos(\omega_yy) + \sin(\omega_xx)\sin(\omega_yy)$$ $$\frac{1}{2}\left[\delta(x-\alpha)\delta(y-\beta) + \delta(x+\alpha)\delta(y+\beta)\right]$$

将结果替换为得到 $I_m$

$$I_m(x,y) = \frac{1}{2}\left[I(x,y)+I(-x,-y)\right]$$

当然，你的情况的，然而，离散傅立叶变换假设你的信号是为周期，你会得到 ，其中是图像的尺寸。我认为您现在可以看到为什么获得该结果。$x,y>0$$N$

$$I_m(x,y) = \frac{1}{2}\left[I(x,y)+I(N-x,M-y)\right]$$ $N,M$

提供的结果ThP也可以用非常简单的术语表示：如果您有一个纯实数据集，则其（逆）傅立叶变换将具有厄米对称性：如果在位置找到值，则您将在原点附近的点反射位置处找到复共轭值。注意这里的原点将是傅立叶空间的中心。当然，如果DC分量不在FFT实施的中心，则可以重新设定。这就是您在图像中看到的结果：点反射版本覆盖了真实图像-因为您强迫一个空间成为真实值。$z$$(x,y)$$z^*$$(-x,-y)$

在某些情况下，此属性实际上已用于加速磁共振成像（MRI）：MRI直接在傅立叶空间中获取数据。由于理想的MR图像只能用实数值描述（所有激发的磁化矢量的相位均为0），因此您只需要获取一半的数据空间，就可以节省一半的成像时间。当然，由于现实的局限性，MR图像并不是完全真实的价值……但是通过一些技巧，您仍然可以有利地使用此技术。