系统的“脉冲响应”和“频率响应”是什么意思？

有人能用简单的英语陈述频率响应和脉冲响应之间的区别吗？

的脉冲响应和频率响应是被用于表征有用两个属性线性时变（LTI）系统。它们提供了两种不同的方式来计算给定输入信号下LTI系统的输出。连续时间LTI系统通常如下所示：

$H$$x(t)$$y(t)$

• $x_1(t)$$y_1(t)$$x_2(t)$$y_2(t)$$a_1$$a_2$

$$H\{a_1 x_1(t) + a_2 x_2(t)\} = a_1 y_1(t) + a_2 y_2(t)$$

• $x(t)$$y(t)$$\tau$

$$H\{x(t - \tau)\} = y(t - \tau)$$

离散LTI系统具有相同的属性；由于离散与连续的差异，所以表示法有所不同，但是它们非常相似。这些特性允许使用其脉冲和频率响应来直接表征系统的运行。他们提供了可以在不同上下文中使用的系统的两种观点。

脉冲响应：

$\delta(t)$ $\delta[n]$$h(t)$$h[n]$

为什么这有用？它使我们能够预测时域中系统的输出情况。还记得上面提到的线性和时不变性吗？如果我们可以将系统的输入信号分解为一堆组件的总和，则输出等于这些组件中每个组件的系统输出总和。如果我们可以将输入信号分解为按比例缩放和时移的脉冲，该怎么办？然后，输出将等于脉冲响应副本的总和，并以相同的方式缩放和时移。

$x[n]$

$$x[n] = \sum_{k=0}^{\infty} x[k] \delta[n - k]$$

$x[n]$$x[n]$$y[n]$

$$y[n] = \sum_{k=0}^{\infty} x[k] h[n-k]$$

$h[n]$$x[n]$$y[n]$

对于连续时间系统，严格意义上的数学分解（狄拉克三角洲的宽度为零，高度为无限）是不可能进行上述直接分解的，但是在工程水平上，这是解决问题的一种近似，直观的方法。这些系统也有类似的卷积定理：

$$y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t - \tau) d\tau$$

$h(t)$$L^2$$L^2$

总结：对于离散和连续时间系统，脉冲响应都是有用的，因为它使我们能够为任何输入信号计算这些系统的输出。输出只是输入信号与脉冲响应函数的卷积。

频率响应：

LTI系统的频率响应提供了类似的功能：它允许您计算系统对输入信号的影响，除非在频域中说明了这些影响。回顾傅立叶变换的定义：

$$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j 2 \pi ft} dt$$

更重要的是，为了便于说明，请看它的反函数：

$$x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) e^{j 2 \pi ft} df$$

$x(t)$$x(t)$$X(f)$$f$$f$在上述线性组合中。这些比例因子通常是复数。一种查看复数的方式是幅度/相位格式，即：

$$X(f) = A(f) e^{j \phi(f)}$$

$x(t)$$A(f)$$\phi(f)$$x(t)$

这是更好的地方：指数函数是线性时不变系统的本征函数。这个想法类似于线性代数中的特征向量，如果将指数函数放入LTI系统中，则会得到相同的指数函数，并按（通常为复数）值进行缩放。这具有更改您所输入的指数函数的幅度和相位的效果。

$x(t)$$x(t)$$X(f)$$H$$Y(f)$

$$Y(f) = H(f) X(f) = A(f) e^{j \phi(f)} X(f)$$

$H(f)$$X(f)$$X(f)$$A(f)$$\phi(f)$

将它们放在一起：

LTI系统的脉冲响应和频率响应密切相关。频率响应只是系统脉冲响应的傅立叶变换（要了解这种关系为何成立，请参见其他问题的答案）。因此，对于连续时间系统：

$$H(f) = \int_{-\infty}^{\infty} h(t) e^{-j 2 \pi ft} dt$$

因此，给定一个系统的脉冲响应或其频率响应，就可以计算另一个。任一都足以完全表征系统的行为；脉冲响应在时域中工作时很有用，而频率响应在分析频域中的行为时很有用。

迅速敲击一下某个东西，然后绘制它在时域中的响应方式（例如使用示波器或笔式绘图仪）。那将接近冲动反应。

获取一个音调发生器，并振动不同频率的东西。它会放大一些谐振频率。其他人可能根本不响应。绘制响应大小和相位与输入频率的关系图。那将接近于频率响应。

对于某些常见的系统类别（系统随时间变化不大，并且任何非线性都小到可以忽略不计的目的），这两个响应是相关的，并且可以使用Laplace或Fourier变换近似关系。

脉冲响应是系统对持续时间和单位能量无限小的单个脉冲（狄拉克脉冲）的响应。频率响应显示了系统对每个频率的衰减或放大程度。

系统的频率响应是转换为频域的脉冲响应。如果您有脉冲响应，则可以使用FFT来查找频率响应，并且可以使用逆FFT从频率响应转到脉冲响应。

简短地说，我们有两种基本响应：时间响应和频率响应。时间响应测试系统如何在瞬时干扰下工作，而频率响应测试在连续干扰下。时间响应包含诸如阶跃响应，斜坡响应和脉冲响应之类的东西。频率响应包含正弦响应。

阿尔托大学在这里免费提供一些Mat-2.4129材料课程，最相关的可能是Matlab文件，因为大多数内容是芬兰语。如果您更感兴趣，可以查看下面的视频以获取介绍视频。我发现他们对自己有帮助。

我对LTI问题只有非常基本的了解，因此我将在下面介绍它们-但是肯定会有更多不同类型的问题！

线性时不变问题的响应

对于LTI（线性时不变）问题，输入和输出必须具有相同的形式：正弦输入具有正弦输出，并且类似地，将步进输入结果转换为步进输出。如果您没有LTI系统-假设您有反馈或您的控制/噪声和输入相关-那么以上所有断言可能都是错误的。使用LTI，您将获得两种类型的变化：相移和幅度变化，但是频率保持不变。如果您打破了一些非假设假设，那么输入和输出的形式可能会非常不同。

如果需要调查系统是否为LTI，则可以使用Wiener-Hopf方程和相关分析之类的工具。Wiener-Hopf方程用于嘈杂的系统。验证结果和验证前提至关重要，否则容易因不同的响应而犯错误。更多关于确定带噪声系统的脉冲响应的信息。

参考文献

1. 维基百科的文章有关LTI 这里

2. 关于此处和此处不同回答的非常好的介绍视频-以下是几个关键点。