调整图像大小如何影响固有相机矩阵？

我有一个相机矩阵（我知道内在参数和外在参数），其尺寸为HxW。（我将此矩阵用于所需的一些计算）。

我想使用较小的图像，例如：$\frac{H}{2}\times \frac{W}{2}$（原件的一半）。为了保持相同的关系，我需要对矩阵进行哪些更改？

我有$K$作为内在参数，（$R$，$T$旋转和平移）

$$\text{cam} = K \cdot [R T]$$

$$K = \left( \begin{array}&a_x &0 &u_0\\0 &a_y &v_0 \\ 0 &0 &1\end{array} \right)$$

$K$为3 * 3，我想乘上$a_x$，$a_y$，$u_0$和$v_0$ 0.5（图像大小被调整的因素），但我不知道。

注意：这取决于您在调整大小后的图像中使用的坐标。我假设您使用的是从零开始的系统（如C，与Matlab有所不同），并且0转换为0。而且，我假设您在坐标之间没有任何偏差。如果您确实有偏斜，也应该乘以

简短答案：假设您使用的坐标系中$u' = \frac{u}{2} , v' = \frac{v}{2}$，是的，你应该乘以$a_x,a_y,u_0,v_0$0.5。

详细答案将世界坐标中的点$P$转换为相机坐标 $(x,y,z,1)->(u,v,S)$函数是：

$$\left( \begin{array}{ccc} a_x & 0 & u_0 \\ 0 & a_y & v_0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} R_{11} & R_{12} & R_{13} & T_x \\ R_{21} & R_{22} & R_{23} & T_y \\ R_{31} & R_{32} & R_{33} & T_z \\ 0 & 0& 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \\ 1 \end{array} \right)$$

其中$(u,v,S)->(u/S,v/S,1)$，因为坐标是同质的。

简而言之，可以写成 $u= \frac{m_1 P}{m_3 P} , v = \frac{m_2 P}{m_3 P}$
，其中$M$是两个矩阵的乘积如上所述，和$m_i$是矩阵的第i行$M$。（该产品为标量产品）。

重新调整图像大小可以考虑：

$$u'=u/2, v'=v/2$$

从而

$$u' = (1/2) \frac {M_1 P} {M_3 P} \\ v' = (1/2) \frac {M_2 P} {M_3 P}$$

转换回矩阵形式可以使我们：

$$\left( \begin{array}{ccc} 0.5 & 0 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} a_x & 0 & u_0 \\ 0 & a_y & v_0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} R_{11} & R_{12} & R_{13} & T_x \\ R_{21} & R_{22} & R_{23} & T_y \\ R_{31} & R_{32} & R_{33} & T_z \\ 0 & 0& 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \\ 1 \end{array} \right)$$

等于

$$\left( \begin{array}{ccc} 0.5 a_x & 0 & 0.5 u_0 \\ 0 & 0.5 a_y & 0.5 v_0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} R_{11} & R_{12} & R_{13} & T_x \\ R_{21} & R_{22} & R_{23} & T_y \\ R_{31} & R_{32} & R_{33} & T_z \\ 0 & 0& 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \\ 1 \end{array} \right)$$

有关更多信息，请参阅Forsyth，第3章-相机几何校准。

安德烈（Andrey）提到，他的解决方案假设将0转换为0。如果使用像素坐标，则在调整图像大小时可能不正确。您真正需要做的唯一假设是，您的图像变换可以由3x3矩阵表示（如Andrey所示）。要更新相机矩阵，您可以将其乘以代表图像变换的矩阵。

[new_camera_matrix] = [image_transform]*[old_camera_matrix]

例如，假设您需要将图像的分辨率更改一个因子 $2^n$并且您正在使用0个索引像素坐标。您的坐标由关系转换

$x' = 2^n*(x+.5)-.5$

$y' = 2^n*(y+.5)-.5$

这可以用矩阵表示

$\left( \begin{array}{ccc} 2^n & 0 & 2^{n-1}-.5 \\ 0 & 2^n & 2^{n-1}-.5 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

所以你最终的相机矩阵是

$\left( \begin{array}{ccc} 2^n & 0 & 2^{n-1}-.5 \\ 0 & 2^n & 2^{n-1}-.5 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} ax & 0 & u_0 \\ 0 & ay & v_0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$