如何从一组输入和输出信号中得出线性系统的脉冲响应？

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我想知道如何解决这类问题。

考虑下面的线性系统。如图所示，当输入系统，和，系统的响应为，和。 $x_1[n]$ $x_2[n]$ $x_3[n]$ $y_1[n]$ $y_2[n]$ $y_3[n]$

在此处输入图片说明

确定系统是否为时不变的。只是你的答案。
什么是冲动反应？

编辑： 假设一般情况下，给定的输入不包含像这样的按比例变化的脉冲 $x_2[n]$

convolution linear-systems homework deconvolution

— 贝贝西
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提示：使用和来确定的脉冲响应必须是什么（因为只是一个按比例缩放的脉冲）。这为您提供了（b）部分的答案。然后，检查其他两种情况，以查看输入/输出是否与该脉冲响应一致（使用线性系统的叠加属性），以得到部分（a）的答案。

x_{2} [n]

$x_2[n]$

y_{2} [n]

$y_2[n]$

T

$T$

x_{2} [n]

$x_2[n]$

— 詹森·R

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在一般情况下，这是一个更困难的问题。如果它们都很短，那么您将知道脉冲响应的持续时间的上限，并且您有足够的输入/输出对，那么您可以建立一个线性方程组，您可以通过求解该方程组来获得未知的脉冲响应值。

— 贾森- [R

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在一般情况下，很可能根本没有FIR解决方案，或者根本没有解决方案。提示：检查x1 [n]和y1 [n]的DC值。

— 希尔玛

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提示：信号什么样的？对于LTI系统，响应应该为，不是吗？是吗？另外，请注意，对于离散时间线性时变系统，不存在一个单位脉冲响应，而是存在无限的单位脉冲响应，单位脉冲发生时的每个瞬间都具有一个单位脉冲响应。

x_{2} [n] - x_{2} [n - 2]

$x_2[n]-x_2[n-2]$

y_{2} [n] - y_{2} [n - 2]

$y_2[n]-y_2[n-2]$

— Dilip Sarwate 2013年

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@DilipSarwate：我同意这是一个可怕的作业问题。但是，该系统确实具有因果关系。虽然为非零，所以是，所以系统的输出不会导致在时间输入。

y_{3} [n]

$y_3[n]$

n = - 2

$n=-2$

x_{3} [n]

$x_3[n]$

— 詹森·R

Answers:

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我不确定因果关系的缺失或缺失。您只需考虑线性代数即可解决此问题。是线性变换。将应用于输入只是矩阵乘法。因此，我们有如果是一种冲动那么它只是挑选出的一列，这样的列是脉冲响应。当然，仅3个输入/输出对不足以将完全确定为5x5矩阵。 $L$ $L$

大号 X = ÿ

$Lx = y$

x

$x$

L

$L$

L

$L$

L

$L$

让我们考虑一下从这个角度来看时不变是什么意思。如果一个变换是线性的并且是时不变的，那么它的冲激响应总是具有相同的形状，并且在时间上仅偏移与输入冲激相同的量。因此，假设的脉冲响应是0 1 2 3 0，它以输入脉冲的顶部为中心（因此是非因果关系）。线性时不变的矩阵如下所示： $L$ $L$

大号 = （ \begin{array}{ccc} 2 & 1个 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1个 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 2 & 1个 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 2 & 1个 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 2 \end{array} ）

$L = \left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 2 \end{array}\right)$

因此，要回答第一个问题，您只需要构建两列即可，以确保它们不同以证明时不变性。直接做到这一点的方法是假设它是时不变的，并产生矛盾。但是，要证明它是时不变的，则需要更多信息，即，它需要完全指定矩阵。如果不是时不变的，那么每个样本的脉冲响应可能会不同，而不是像其他人提到的那样单个。

$L$

— 德里克·埃尔金斯（Derek Elkins）离开东南
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似乎有一个图像现在消失了，因此我可能会丢失一些东西。

$x_1[n-m]$ $y_1[n-m]$
如果输入信号受频带限制，并且其带宽小于您的系统，则将无法恢复脉冲响应。
您将只能在输入能量所在的频率中获得响应。
这可以通过对输入和输出进行频率分析来完成。
如果您的系统确实是LTI，则输入和输出之间的连接由与脉冲响应的卷积给出。
卷积在频域中是倍增的，因此您可以轻松获得冲激响应（同样，仅在输入具有能量的频率上）。

更新资料

这是显示卷积交换性质的一个很好的例子。

$y \left[ n \right] = \left( h \ast x \right) \left[ n \right] = \left( x \ast h \right) \left[ n \right]$

如上所述，一种方法是将问题写成矩阵形式。

— 罗依
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图像又回来了。看来您有一个非常具体的问题。因此，我的回答更为笼统，不够集中。

— 罗伊2014年

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