矩生成函数和傅立叶变换？

矩生成函数是概率密度函数的傅立叶变换吗？

换句话说，力矩生成函数是否只是随机变量的概率密度分布的频谱分辨率，即以振幅，相位和频率而不是参数来表征函数的等效方法？

如果是这样，我们可以对这只野兽进行物理解释吗？

我之所以问是因为，在统计物理学中，累积量生成函数（矩生成函数的对数）是表征物理系统的加性。如果您将能量视为随机变量，那么它的累积量生成函数可以非常直观地解释能量在整个系统中的分布。力矩产生函数是否有类似的直观解释？

我了解它的数学实用性，但它不仅是一个技巧概念，在概念上肯定还有其含义吗？

moments mgf cumulants

— bolbteppa
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我相信这是更类似于傅立叶变换的特征函数。矩生成函数是拉普拉斯变换。

— Placidia

有趣的是：“拉普拉斯变换与傅立叶变换有关，但傅立叶变换将函数或信号解析为振动模式，而拉普拉斯变换将函数解析为矩。” princeton.edu/~achaney/tmve/wiki100k/ docs /…然后，我想问题是-从直观上讲，拉普拉斯变换如何将函数分解为瞬间，并且对此有几何解释吗？

— bolbteppa 2014年

它是通过指数函数的泰勒级数展开来实现的。

— Placidia 2014年

现在，一切都变得有意义了！但是，从直觉上讲，那一刻到底是什么？我知道这一点：“从广义上讲，可以考虑一个时刻样本与信号平均值之间的差异-第一个时刻实际上是平均值，第二个时刻是方差等……” dsp.stackexchange.com/a/ 11032但是，从直觉上讲，这意味着什么？计算x ^ 2的第一/第二/第三/第四矩（采用x ^ 2的拉普拉斯变换）时，样本是什么？有几何解释吗？

— bolbteppa 2014年

MGF是

$M_{X}(t)=E\left[ e^{tX} \right]$

对于存在期望的实值。根据概率密度函数， $t$ $f(x)$

$M_{X}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{tx}f(x) dx.$

这不是一个傅立叶变换（这将具有而不是。 $e^{itx}$ $e^{tx}$

矩生成函数几乎是一个双面拉普拉斯变换，但是该双面拉普拉斯变换具有而不是。 $e^{-tx}$ $e^{tx}$

— 布莱恩·波彻斯
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E (e^{i t X})

$E(e^{itX})$

E (e^{- i t X})

$E(e^{-itX})$

当然，最有用的属性是两个独立随机变量之和的MGF是其矩生成函数的乘积。这相当于两个函数的卷积的傅立叶变换是它们的傅立叶变换的乘积的规则。

— Brian Borchers 2014年