循环统计中更高时刻的直觉

在循环统计中，圆上具有值的随机变量的期望值定义为 （请参阅Wikipedia）。这是一个非常自然的定义，方差 因此，我们不需要第二分钟即可定义方差！$Z$$S$

尽管如此，我们定义了较高的矩 我承认，乍一看也很自然，并且与线性统计中的定义非常相似。但是我仍然感到有些不舒服，并且有以下几点

问题：

1. 用上面定义的更高的矩（直觉）来衡量什么？分布的哪些特性可以用它们的矩来表征？

2.在较高矩的计算中，我们使用复数乘法，尽管我们将随机变量的值仅视为平面中的矢量或角度。我知道复数乘法在这种情况下本质上是角度的加法，但是仍然： 为什么复数乘法对循环数据有意义？

矩是概率测度的傅立叶系数。假设（为了直观起见）具有密度。然后自变量（在复平面上从开始的角度）的密度为，并且矩是该密度以傅立叶级数展开时的系数。因此，关于傅里叶级数的通常直觉适用-这些测量了该密度下的频率强度。$P^Z$$Z$$1$$Z$$[0,2\pi)$

至于第二个问题，我想您已经给出了答案：“在这种情况下，复杂乘法本质上是角度的相加”。