是否存在三阶渐近线？

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统计中的大多数渐近结果证明，当 $n \rightarrow \infty$ ，基于似然函数的二阶泰勒展开，估计量（例如MLE）收敛到正态分布。我相信在贝叶斯文学中也有类似的结果，即“贝叶斯中心极限定理”，它表明后验渐近收敛为的法线。 $n \rightarrow \infty$

我的问题是-根据泰勒级数的第三项，分布是否收敛到正态“之前”？还是一般不可能做到这一点？

mathematical-statistics asymptotics saddlepoint-approximation

— 加布高
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（+1）..好问题。贝叶斯中心极限定理被称为拉普拉斯近似，即后验的行为像正态分布一样“或多或少”。（形式通常从后部收敛到正态分布）

— suncoolsu 2010年

相关： stats.stackexchange.com/questions/191492/...

— 的Kjetil b HALVORSEN

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您在搜索Edgeworth系列吗？

http://en.wikipedia.org/wiki/Edgeworth_series#Edgeworth_series

（请注意，埃奇沃思死于1926年，应该在大多数著名的统计学家中吗？）

— 罗宾吉拉德
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序列不可能“收敛”到一件事然后到另一件事。渐近展开式中的高阶项将变为零。他们告诉您的是，对于任何给定的值，它们接近零。 $n$

对于中心极限定理（例如），适当的扩展是特征函数（累积量生成函数，cgf）的对数。分布的标准化固定了cgf的第零，第一和第二项。其余项的系数为累积量，它们有序地取决于。发生在CLT的标准化（分割的总和随机变量被什么东西正比于 --without这将不会发生收敛）导致累积量-这毕竟取决于时刻-到除以 $n$ $n$ $n^{1/2}$ $m^\text{th}$ $m^\text{th}$ ，但在同一时间，因为我们正在总结而言，净结果是，阶项正比于。因此，标准化的总和的第三累积量正比于，第四累积量正比于 $(n^{1/2})^m = n^{m/2}$ $n$ $m^\text{th}$ $n/n^{m/2} = n^{-(m-2)/2}$ $1/n^{1/2}$ $1/n$ ，等等。这些是高阶术语。（有关详细信息，请参见例如Yuval Filmus的本文。）

通常，的高负功率比低负功率小得多。始终可以通过取足够大的来确保这一点。因此，对于真正的大我们可以忽略所有负幂：他们收敛于零。沿途会聚，偏离从极限与由附加项提高了准确度测量：在项是最初的“修正”，或离开限制值; 下一个 $n$ $n$ $n$ $n$ $1/n^{1/2}$ $1/n$ term是对它的更小，更迅速消失的更正，依此类推。简而言之，附加术语为您提供了序列收敛到其极限的速度的图片。

这些附加项可以帮助我们对有限（通常较小）值进行校正。他们表现出了所有的时间在这方面，如t检验的陈的修改，它利用三阶（）项。 $n$ $1/n^{1/2}$

— ub
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由于某种原因，我认为您的回答并不完全令人信服。我确实同意需要“扩展”分布，并且说在收敛到正态之前收敛到X是不正确的。就我而言，那将是一个错误。我仍然认为应该存在某种方法来缩放分布，以使只有第四阶及以上的“矩”接近零。如果存在这样的缩放因子，我需要更加认真地思考一下它的样子

— gabgoh 2010年

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@gabgoh我想更多地了解答案的哪些方面较弱。就扩展而言，您会陷入困境：您已经在标准化序列元素中用尽了这种可能性。如果（假设）某种形式的缩放将使第三阶矩保持为零，那么您将与CLT相矛盾，因为限制分布将不是正态。估计量的渐近性有一个相关的问题。通常，您可以调整估计量以渐进地消除更高的时刻（例如，使用自举法）：但是，这仍然不能仅通过缩放来完成。

— ub

3

这是尝试回答您的有见地的问题。我已经看到将泰勒级数的第三项包括在内，以提高该级数收敛到真实分布的速度。但是，根据我有限的经验，我还没有看到第三和更高时刻的用法。

正如John D. Cook在他的博客（此处和此处）中指出的那样，除了Berry-Esseen定理之外，在这个方向上没有做过很多工作。我的猜测是（从大约近似误差的博客的观察被界定），作为MLE的渐近正态性在收敛的速率保证（，作为样本大小），考虑更高的时刻不会改善正态性结果。 $n^{1/2}$ $n^{1/2}$ $n$

因此，我想您的问题的答案应该为否。渐近分布收敛到正态分布（在Lindberg CLT的规则性条件下，通过CLT收敛）。但是，使用高阶项可能会增加渐近分布的收敛速度。

— 孙酷
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绝对不是我的领域，但是我很确定三阶和更高阶渐近性存在。这有帮助吗？

罗伯特·斯特劳德曼（Robert L. 高阶渐近逼近：Laplace，Saddlepoint和相关方法 《美国统计协会学报》第1卷。95，No.452（2000年12月），第1358-1364页

— 1站
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