两个高斯随机向量的内积的矩生成函数

有人可以建议我如何计算两个彼此独立的高斯随机向量的内积的矩生成函数吗？每个向量都是？是否有一些标准结果可用于此？任何指针都受到高度赞赏。$\mathcal N(0,\sigma^2)$

首先让我们解决。最后是对（任意）的（简单）泛化。$\Sigma = \sigma\mathbb{I}$$\Sigma$

首先观察内部乘积是iid变量的总和，每个变量都是两个独立的正态变量的乘积，从而简化了寻找后者的mgf的问题，因为总和的mgf为mgfs的乘积。$(0,\sigma)$

可以通过集成找到mgf，但是有一种更简单的方法。当和是标准法线时，$X$$Y$

$$XY = ((X+Y)/2)^2 - ((X-Y)/2)^2$$

是两个独立缩放的卡方变量的差。（比例因子为因为的方差等于。）因为卡方变量的mgf为，所以mgf的是和的MGF 是。相乘，我们发现所需的mgf等于。$1/2$$(X\pm Y)/2$$1/2$$1/\sqrt{1 - 2\omega}$$((X+Y)/2)^2$$1/\sqrt{1-\omega}$$-((X-Y)/2)^2$$1/\sqrt{1+\omega}$$1/\sqrt{1-\omega^2}$

（作为以后的参考，请注意，当和用重新缩放时，它们的乘积将以缩放，而也应由缩放。）$X$$Y$$\sigma$$\sigma^2$$\omega$$\sigma^2$

这看起来应该很熟悉：直到一些恒定因素和一个符号，它看起来像是自由度为的Student t分布的概率密度。（实际上，如果我们使用特性函数代替mgfs，我们将获得，它甚至更接近Student t PDF。）没关系，没有这样的东西作为具有 dfs 的学生t ，最重要的是mgf可以在的附近进行解析，而这显然是（根据二项式定理）。$0$$1/\sqrt{1 + \omega^2}$$0$$0$

立即得出结论，这些iid高斯向量的内积分布的mgf等于该mgf 的乘积，$n$$n$

$$(1 - \omega^2 \sigma^4)^{-n/2}, \quad n=1, 2, \ldots.$$

通过查找 Student t分布的特征函数，我们可以推论出（用少量的代数或积分来找到归一化常数）PDF本身是由

$$f_{n,\sigma}(x) = \frac{2^{\frac{1-n}{2}} |x|^{\frac{n-1}{2}} K_{\frac{n-1}{2}}\left(\frac{|x|}{\sigma ^2}\right)}{\sqrt{\pi } \sigma ^4 \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}$$

（是贝塞尔函数）。$K$

例如，这是该PDF的曲线图，叠加在这样的内积的随机样本的直方图上，其中和：$10^5$$\sigma=1/2$$n=3$

从模拟中很难确定mgf的准确性，但是请注意（根据二项式定理）

$$(1 + t^2 \sigma^4)^{-3/2} = 1-\frac{3 \sigma ^4 t^2}{2}+\frac{15 \sigma ^8 t^4}{8}-\frac{35 \sigma ^{12} t^6}{16}+\frac{315 \sigma ^{16} t^8}{128}+\ldots,$$

从中我们可以读出瞬间（按阶乘划分）。由于关于的对称性，只有偶数矩很重要。对于我们获得以下值，以与该模拟的原始力矩进行比较：$0$$\sigma=1/2$

 k    mgf           simulation/k!
 2    0.09375       0.09424920
 4    0.00732422    0.00740436
 6    0.00053406    0.00054128
 8    0.00003755    0.00003674
10    2.58 e-6      2.17 e-6

可以预料的是，模拟的高力矩将开始偏离mgf给定的力矩。但至少在第十个时刻之前，大家都达成了一致。

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顺便提及，当，分布是双指数的。$n=2$

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要处理一般情况，首先要注意内积是与坐标无关的对象。因此，我们可以将的主要方向（特征向量）作为坐标。在这些坐标的内积是的总和独立的产品独立正常个变量，具有方差分布每个分量等于其相关联的本征值。因此，令非零特征值为（），mgf必须等于$\Sigma$$\sigma_1^2, \sigma_2^2, \ldots, \sigma_d^2$$0 \le d \le n$

$$\left(\prod_{i=1}^d (1 - \omega^2\sigma_i^4)\right)^{-1/2}.$$

为了确认我在这个推理中没有出错，我举了一个例子，其中是矩阵$\Sigma$

$$\left( \begin{array}{ccc} 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{8} \\ \frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{8} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{2} \end{array} \right)$$

并计算出其特征值是

$$\left(\sigma_1^2, \sigma_2^2, \sigma_3^2\right) = \left(\frac{1}{16} \left(17+\sqrt{65}\right),\frac{1}{16} \left(17-\sqrt{65}\right),\frac{3}{8}\right)\approx \left(1.56639,0.558609,0.375\right).$$

可以通过对特征函数的傅立叶变换（通过从此处给出的mgf公式得出）进行数值评估来计算PDF：下图以红线显示了该PDF的图形。同时，我以正态分布生成 iid变量，以相同的方式生成另一个 iid变量，并计算出点积。该图显示了这些点积的直方图（省略了一些最极端的值-范围从到）：$10^6$$X_i$$(0,\Sigma)$$10^6$$Y_i$$10^6$$X_i\cdot Y_i$$-12$$15$

和以前一样，该协议非常出色。 此外，这些时刻可以很好地匹配到第八名，甚至在第十名也可以：

 k    mgf           simulation/k!
 2     1.45313       1.45208
 4     2.59009       2.59605
 6     5.20824       5.29333
 8    11.0994       11.3115
10    24.4166       22.9982

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附录

（2013年8月9日新增。）

$f_{n,\sigma}$是方差-伽马分布的一个实例，最初被定义为“正常方差-均值混合，其中混合密度为伽马分布”。它具有标准位置（），不对称参数（对称），比例参数和形状参数（根据Wikipedia参数化）。$0$$0$$\sigma^2$$n/2$