Questions tagged «jacobian»

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假设
证明以下陈述正确的最简单方法是什么? 假设Y1,…,Yn∼iidExp(1)Y1,…,Yn∼iidExp(1)Y_1, \dots, Y_n \overset{\text{iid}}{\sim} \text{Exp}(1)。显示∑ni=1(Yi−Y(1))∼Gamma(n−1,1)∑i=1n(Yi−Y(1))∼Gamma(n−1,1)\sum_{i=1}^{n}(Y_i - Y_{(1)}) \sim \text{Gamma}(n-1, 1)。 注意,Y(1)=min1≤i≤nYiY(1)=min1≤i≤nYiY_{(1)} = \min\limits_{1 \leq i \leq n}Y_i。 通过X∼Exp(β)X∼Exp(β)X \sim \text{Exp}(\beta),这意味着,fX(x)=1βe−x/β⋅1{x>0}fX(x)=1βe−x/β⋅1{x>0}f_{X}(x) = \dfrac{1}{\beta}e^{-x/\beta} \cdot \mathbf{1}_{\{x > 0\}}。 很容易看到Y(1)∼Exponential(1/n)Y(1)∼Exponential(1/n)Y_{(1)} \sim \text{Exponential}(1/n)。此外,我们也有∑ni=1Yi∼Gamma(α=n,β=1)∑i=1nYi∼Gamma(α=n,β=1)\sum_{i=1}^{n}Y_i \sim \text{Gamma}(\alpha = n, \beta = 1)的参数化下 fY(y)=1Γ(α)βαxα−1e−x/β1{x>0}, α,β>0.fY(y)=1Γ(α)βαxα−1e−x/β1{x>0}, α,β>0.f_{Y}(y) =\dfrac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^{\alpha}}x^{\alpha-1}e^{-x/\beta}\mathbf{1}_{\{x > 0\}}\text{, }\qquad \alpha, \beta> 0\text{.} 西安人给出的解决方案答案:在原始问题中使用符号: 由此,我们得到了Σ Ñ …

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推导概率密度函数变量的变化?
在书本模式识别和机器学习(公式1.27)中, pÿ(y)= pX(x )∣∣∣dXdÿ∣∣∣= pX(克(y))| G′(y)|pÿ(ÿ)=pX(X)|dXdÿ|=pX(G(ÿ))|G′(ÿ)|p_y(y)=p_x(x) \left | \frac{d x}{d y} \right |=p_x(g(y)) | g'(y) | 其中x=g(y)x=g(y)x=g(y),px(x)px(x)p_x(x),是pdf对应于py(y)py(y)p_y(y)相对于所述变量的变化。 这些书说,这是因为在观察范围内的下降(x,x+δx)(x,x+δx)(x, x + \delta x)会,为小值δxδx\delta x,转化为范围(y,y+δy)(y,y+δy)(y, y + \delta y)。 这是如何正式得出的? 来自Dilip Sarwate的更新 仅当GGg是严格单调递增或递减函数时,结果才成立。 一些小修改以LV Rao的答案 因此,如果gP(是≤ ÿ)= P(克(X)≤ ÿ)= { P(X≤ 克− 1(y)),P(X≥ 克− 1(y)),如果g 单调增加如果g 单调递减P(ÿ≤ÿ)=P(G(X)≤ÿ)={P(X≤G-1(ÿ)),如果 G 单调增加P(X≥G-1(ÿ)),如果 G 单调递减 \begin{equation} …

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如果是独立Beta,则显示也是beta
这是几年前在我们大学进行的学期考试中遇到的一个问题,我正在努力解决。 如果X1,X2X1,X2X_1,X_2是密度分别为\ beta(n_1,n_2)和\ beta(n_1 + \ dfrac {1} {2},n_2)的独立ββ\beta随机变量,则表明\ sqrt {X_1X_2}遵循\ beta(2n_1, 2n_2)。β(n1个,n2)β(ñ1个,ñ2)\beta(n_1,n_2)β(n1个+ 12,n2)β(ñ1个+1个2,ñ2)\beta(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)X1个X2-----√X1个X2\sqrt{X_1X_2}β(2 n1个,2 n2)β(2ñ1个,2ñ2)\beta(2n_1,2n_2) 我使用Jacobian方法获得Y = \ sqrt {X_1X_2}的密度ÿ= X1个X2-----√ÿ=X1个X2Y=\sqrt{X_1X_2}如下: Fÿ(y)= 4 ÿ2 n1个乙(Ñ1个,n2)B (n1个+ 12,n2)∫1个ÿ1个X2(1 − x2)ñ2− 1(1 − y2X2)ñ2− 1dXFÿ(ÿ)=4ÿ2ñ1个乙(ñ1个,ñ2)乙(ñ1个+1个2,ñ2)∫ÿ1个1个X2(1个-X2)ñ2-1个(1个-ÿ2X2)ñ2-1个dXf_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_y^1\dfrac{1}{x^2}(1-x^2)^{n_2-1}(1-\dfrac{y^2}{x^2})^{n_2-1}dx 我实际上在这一点上迷路了。现在,在主文件中,我发现已经提供了提示。我尝试使用提示,但无法获得所需的表达式。提示逐字记录如下: 提示:根据给定的X_1和X_2密度,得出Y = \ sqrt {X_1X_2}的密度公式,并尝试使用z = \ dfrac {y ^ 2} {x}的变量更改。ÿ= X1个X2-----√ÿ=X1个X2Y=\sqrt{X_1X_2}X1个X1个X_1X2X2X_2ž= y2Xž=ÿ2Xz=\dfrac{y^2}{x} 因此,在这一点上,我尝试通过考虑变量的这种变化来利用此提示。因此我得到Fÿ(y)= …
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