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高矩形矩阵对随机变量的线性变换
假设我们有一个随机向量，它是从概率密度函数为的分布中得出的。如果我们用一个完整的矩阵对其进行线性变换，得到，则的密度由X⃗ ∈RnX→∈Rn\vec{X} \in \mathbb{R}^nfX⃗ (x⃗ )fX→(x→)f_\vec{X}(\vec{x})n×nn×nn \times nAAAY⃗ =AX⃗ Y→=AX→\vec{Y} = A\vec{X}Y⃗ Y→\vec{Y}fY⃗ (y⃗ )=1|detA|fX⃗ (A−1y⃗ ).fY→(y→)=1|detA|fX→(A−1y→). f_{\vec{Y}}(\vec{y}) = \frac{1}{\left|\det A\right|}f_{\vec{X}}(A^{-1}\vec{y}). 现在说我们变换X⃗ X→\vec{X}代替由m×nm×nm \times n矩阵BBB，与m>nm>nm > n，给人Z⃗ =BX⃗ Z→=BX→\vec{Z} = B\vec{X}。显然，Z∈RmZ∈RmZ \in \mathbb{R}^m，但是它“存在于” nnn维子空间G⊂RmG⊂RmG \subset \mathbb{R}^m。已知Z⃗ Z→\vec{Z}位于G中，它的条件密度是GGG多少？ 我的第一个本能是使用B的伪逆BBB。如果B=USVTB=USVTB = U S V^T是奇异值分解BBB，然后B+=VS+UTB+=VS+UTB^+ = V S^+ U^T是伪逆，其中S+S+S^+通过反转对角矩阵的非零项形成SSS。我猜想这会给fZ⃗ (z⃗ )=1∣∣det+S∣∣fX⃗ (B+z⃗ ),fZ→(z→)=1|det+S|fX→(B+z→), …