相关OEIS序列：A008867

截断三角数

三角数的一个共同属性是它们可以排列成三角形。例如，取21并排列成os 的三角形：

     Ø 
    OO
   oo
  oo
 oo
oo

让我们定义一个“截断：”从每个角切割相同大小的三角形。截断21的一种方法如下：

     。 
    。。
   oo
  oo
 。oo。
。。哦。。

（的三角形.是从原始三角形切出的）。

o剩下12 秒，因此12是一个截断的三角形数字。

任务

您的工作是编写一个程序或函数（或等效函数），该程序或函数采用整数并返回（或使用任何标准输出方法）数字是否为截断的三角形数字。

规则

• 没有标准漏洞。
• 输入是非负整数。
• 切口的边长不能超过原始三角形的一半（即，切口不能重叠）
• 切口的边长可以为零。

测试用例

真相：

0
1
3
6
7
10
12
15
18
19

虚假：

2
4
5
8
9
11
13
14
16
17
20

测试所有不超过50的整数的用例：TIO Link

这是代码高尔夫球，因此每种语言中字节数最少的提交将获胜！

Haskell，46 45字节

f n|t<-scanl(+)0[1..n]=or[x-3*y==n|x<-t,y<-t]

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Haskell，46个字节

f n=or[mod(gcd(p^n)(4*n-1)-5)12<3|p<-[1..4*n]]

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在对这个问题提出了大量的数论（感谢@flawr）之后，我发现了这个特征：

如果在4n-1的素数分解中，形式为5 mod 12或7 mod 12的任何素数出现偶数次，则n是一个截断的三角数。

例如，这意味着4n-1可能无法被5整除，除非它被5 ² = 25进一步整除并且5个因子的总数是偶数。

Haskell没有内置分解因数，但是我们可以即兴进行。如果我们将分解分解为质数幂，例如12 = 3 * 4，则可以使用等效语句：

如果将4n-1分解为素幂，则n不为形式5 mod 12或7 mod 12时，n就是一个截断的三角数。

我们可以提取素数的力量 p出现在ķ作为gcd(p^k)k。然后，我们检查结果r是否不是5或7模12的模mod(r-5)12>2。注意r是奇数。我们也将复合材料检查为p，但缺少一种将它们从质数中区分出来的方法，但是只要其因素能够通过，检查就会通过。

最后，否定>2以<3和开关True/ False输出通过让我们使用节省了字节or代替and。

一个相关的特征是取模为12 的4n-1的除数的总1和11的总数多于5和7的总数。

53个字节

f n=sum[abs(mod k 12-6)-3|k<-[1..4*n],mod(4*n)k==1]<0

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Python 2，52字节

f=lambda n,b=1:b>n+1or(8*n-2+3*b*b)**.5%1>0<f(n,b+1)

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输出True/ False翻转。使用以下特征：

Ñ是截短的三角形数恰好如果8N-2已经形成一个² -3b ²对于某些整数A，B。

我们检查从到的8*n-2+3*b*b任何平方是否是一个完美的平方。我们避免b1n+1b=0因为当时，它给出负数平方根的误差n==0，但这不会造成伤害，因为只有奇数b有效。

以非递归方式进行：

Python 2，53字节

lambda n:0in[(8*n-2+3*b*b)**.5%1for b in range(~n,0)]

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R，45 43字节

-2个字节归功于Vlo

(n=scan())%in%outer(T<-cumsum(0:n),3*T,"-")

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我相当确定我们只需要检查第一个n三角数即可；蛮力检查n三角形数及其三元组是否成对存在差异。

果冻，10 字节

0r+\ð_÷3f⁸

接受整数并返回真实值（非空列表）或虚假值（空列表）的单子链接。

在线尝试！（页脚执行Python表示以按[0]原样显示结果）
...或查看测试套件（运行0到20（含0和20））

怎么样？

给定N，形成前N个三角数，从中减去N，将每个结果除以3，并保留作为前N个三角数之一的任何结果。

0r+\ð_÷3f⁸ - Link: integer, N             e.g. 7
0r         - zero inclusive range N            [    0, 1, 2,   3,    4, 5,   6,   7]
  +\       - cumulative reduce with addition   [    0, 1, 3,   6,   10,15,  21,  28]
    ð      - start a new dyadic link with that, t, on the left and N on the right
     _     - t subtract N (vectorises)         [   -7,-6,-3,  -1,    3, 8,  14,  21]
      ÷3   - divivde by three (vectorises)     [-2.33,-2,-1.33,-0.33,1,2.67,4.67, 7]
         ⁸ - chain's left argument, t          [    0, 1, 3,   6,   10,15,  21,  28]
        f  - filter keep                       [                     1             ]
                                               - a non-empty list, so truthy

Pyt，10 个字节

Đř△Đ3*ɐ-Ƒ∈

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说明：

        Implicit input
Đ       Duplicate input
ř       Push [1,2,...,input]
△       For each element k in the array, get the kth triangle number
Đ       Duplicate the top of the stack
3*      Multiply by 3
ɐ       ɐ - All possible:
 -                       subtractions between elements of the two arrays  
Ƒ       Flatten the nested array
∈       Is the input in the array

Haskell，48个字节

f a|u<-[0..a]=or[x^2+x-3*(y^2+y)==2*a|x<-u,y<-u]

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J，22字节

e.[:,@(-/3*])2![:i.2+]

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直截了当且有点差劲的方法。

说明

e.[:,@(-/3*])2![:i.2+]
             2![:i.2+]  Range of triangular numbers up to N
      (-/3*])           All possible subtractions of 3T from T 
                        where T is triangular up to the Nth triangular number
    ,@                  Flattened into a single list
e.                      Is N in the list?

MATL，12字节

tQ:qYst!3*-m

输出1为真，0为假。

在线尝试！或验证所有测试用例。

举例说明

考虑输入 6

t      % Implicit input. Duplicate
       % STACK: 6, 6
Q:q    % Increase, range, decrease element-wise. Gives [0 1 ... n]
       % STACK: 6, [0 1 ... 6]
Ys     % Cumulative sum
       % STACK: 6, [0 1 3 6 10 15]
t!     % Duplicate, transpose
       % STACK: 6, [0 1 3 6 10 15], [0;
                                     1;
                                     3;
                                     6;
                                     10;
                                     15]
3*     % Times 3, element-wise
       % STACK: 6, [0 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55], [0;
                                                    3;
                                                    9;
                                                    18;
                                                    30;
                                                    45]
-      % Subtract, element-wise with broadcast
       % STACK: 6, [  0   1   3   6  10  15  21;
                     -3  -2   0   3   7  12  18;
                     -9  -8  -6  -3   1   6  12;
                    -18 -17 -15 -12  -8  -3   3;
                    -30 -29 -27 -24 -20 -15  -9;
                    -45 -44 -42 -39 -35 -30 -24;
                     -63 -62 -60 -57 -53 -48 -42]
m      % Ismember. Implicit display
       % STACK: 1

红宝石，65 57 52 48字节

->n,b=0{b+=1;(8*n-2+3*b*b)**0.5%1==0||b<n&&redo}

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受xnor的python答案启发

Python 3，84个字节

lambda n:1in set([((8*(n+(i*(i+1)/2)*3)+1)**0.5)%4==1for i in range(n)])or n in[0,1]

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05AB1E，11个字节

ÅT3*+8*>ŲZ

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说明

ÅT            # get a list of triangle numbers upto input
  3*          # multiply each by 3
    +         # add input to each
     8*       # multiply each by 8
       >      # increment each
        Ų    # check each for squareness
          Z   # max

这是基于以下事实：如果T8T+1是一个奇数完美的平方，则T为三角形。
我们从可以截断的三角形列表开始，根据它们计算可能的较大三角形，并检查其是否实际上是三角形。

Japt，16字节

ò å+ d@Zd_-3*X¶U

试试吧 | 检查所有测试用例

说明

                     :Implicit input of integer U
ò                    :Range [0,U]
  å+                 :Cumulative reduction by addition
     d@              :Does any X in array Z return true when passed through this function?
       Zd_           :  Does any element in Z return true when passe through this function?
          -3*X       :    Subtract 3*X
              ¶U     :    Check for equality with U

另类

ò å+ £Zm-3*XÃdøU

试试吧

加++，36字节

D,g,@,.5^di=
L,ßR¬+A↑>3€*A€+8€*1€+ºg

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